2.4. Un integral integral cu limita superioară variabilă.
Formula lui Newton-Leibniz
Până în prezent am considerat un integral integrat cu limite de integrare constantă a și b. Fie funcția f (x) integrabilă pe intervalul [a, b]. În cazul în care. atunci funcția f (x) este, de asemenea, integrabilă pe orice interval [a, x]. Dacă modificăm limita superioară fără a lăsa intervalul [a, b], atunci valoarea integralului se va schimba, adică integrala cu o limită inferioară constantă a și limita superioară variabilă x este o funcție a limitei superioare. Denumim această funcție prin Φ (χ):
Notă. Pentru comoditate, variabila de integrare este notată cu litera t. deoarece litera x indică limita superioară a integrării.
Integralul (8) este denumit integral cu limita superioară variabilă.
Formăm teorema de bază a calculului diferențial și integrat, care stabilește legătura dintre derivat și integral.
Derivatul integral al unei funcții continue în raport cu limita superioară variabilă există și este egal cu valoarea integrandului în punctul egal cu limita superioară,
Această teoremă afirmă că orice funcție continuă pe [a, b] are un antiderivativ pe ea, iar acest primitiv este o funcție a φ (x), și deoarece orice altă primitivă a lui f (x) poate fi diferită de un anumit Φ (x) la o constantă, atunci se stabilește o legătură între integritatea nedeterminată și definitivă.
Formula (10) se numește formula Newton-Leibniz.
Formula Newton-Leibniz poate fi rescrisă ca
Concluzie. Integritatea definitivă a funcției continue f (x) este egală cu diferența dintre valorile oricărui derivat antiderivant pentru limitele superioare și inferioare ale integrării.
Formula Newton-Leibniz deschide posibilități largi pentru calcularea integralelor definite, deoarece problema se reduce la problema de calcul al integrelor nedefinite.
Exemplul 2. Se calculează integrala.
Dacă luăm în considerare limita inferioară a integrării ca variabile, apoi folosind formula Newton-Leibniz, obținem
Dacă f (x) este continuă, (X), (X) sunt funcții diferențiate, apoi derivatul integralului în raport cu variabila x
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: