Conceptul unei funcții, funcția inversă exponențială, ca și în domeniul real, este legată de conceptul de logaritm al unui număr.
Logaritul unui număr complex este un număr astfel încât egalitatea deține; este notat. Astfel.
Pentru a găsi logaritmul unui număr. și anume pentru a găsi părțile reale și imaginare ale numărului. Se scrie numărul în formă exponențială și căutăm numărul într-o formă algebrică :.
Atunci egalitatea sau egalitatea numerelor este scrisă în formă exponențială și din ea găsim. care este. Pentru numărul necesar, obținem expresia:
Din aceasta rezultă că logaritmul unui număr complex este determinat ambiguu; Expresia rezultantă definește setul de valori logaritmice ale unui număr dat; este marcat cu
Pentru fiecare valoare fixă obținem un anumit număr - valoarea logaritmului numărului; dacă se numește valoarea principală a logaritmului:
Exemplul 1. Găsiți - valorile principale pentru următoarele numere:
Soluția. a). . . Apoi, cu formula (6.2). ci cu formula (6.1). .
b). . . Apoi, cu formula (6.2). ci cu formula (6.1). .
Exemplul 2. Găsiți modulul, argumentul, părțile reale și imaginare ale numărului.
Soluția. Să găsim modulul și argumentul numărului. . .
Prin formula (6.2) obținem. Prin urmare. . .
Deoarece și. atunci punctul corespunzător numărului este localizat în primul trimestru și, în consecință.
Observație 1. Introducerea conceptului de logaritm al unui număr face posibilă determinarea într-un domeniu complex a unui grad cu orice exponent complex și a unei funcții exponențiale cu orice bază complexă.
Cu și. unde este un număr natural, grad și este considerat mai sus; cu și. unde este un număr întreg. Definiția k este, de asemenea, evidentă.
În cazul general, pentru orice grad complex este dat de
În mod similar, introducem o funcție cu orice bază complexă
Datorită valorii infinite a logaritmului, fiecare număr corespunde unui set infinit de valori ale gradului. definită prin formula (6.3), și un set infinit de numere determinat prin formula (6.4) pentru. Printre aceste seturi se disting principalele valori, care corespund valorilor principale ale logaritmilor.
Exemplul 3. Arată că expresia are doar valori reale.
Soluția. Folosim formula (6.4). Să găsim valoarea.
,. Prin urmare, un număr real pentru orice.
Exemplul 4. Găsiți. unde este rădăcina ecuației. satisfacerea condiției.
Soluția. Rădăcinile ecuației sunt numere. Condiția satisface. Pentru rădăcina găsită. . atunci. Prin urmare, răspunsul.
Observația 2. Introducerea conceptului logaritmului unui număr complex face posibilă rezolvarea ecuațiilor exponențiale în domeniul complex. Cea mai simplă ecuație este ecuația formei. Soluția acestei ecuații este redusă la găsirea valorilor expresiei. care este.
Exemplu 5. Rezolvați ecuația.
Soluția ... ajungem. în cazul în care.
Exemplul 6. Găsiți din ecuație.
Soluția. Folosim formula. atunci avem ecuația. care reduce la o ecuație patratică. Rădăcinile ecuației și quadrației. Atunci u
Din punct de vedere geometric, acestea sunt punctele situate pe linii și paralele cu axa imaginară, distanța dintre ele fiind egală.
După cum vedem, funcția logaritmică este introdusă ca o funcție inversă a funcției exponențiale, adică ca soluție a ecuației. valorile funcției pentru oricare dintre ele sunt determinate de formula (6.1).
Funcția este în mod evident multivaluată și cartografiază avionul pentru fiecare bandă:
Într-un avion cu o tăietură de-a lungul razei, este posibil să se identifice ramuri cu o singură valoare, fiecare dintre acestea mapând în mod unic acest avion la una dintre benzi. în particular, funcția - valoarea principală a funcției logaritmice se află în planul benzii (a se vedea Figura 6.1).
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: