Dacă două variabile aleatoare x și h sunt dependente, atunci informațiile despre valoarea pe care una dintre ele le-a modificat ne schimbă viziunea asupra distribuției celeilalte.
Cu alte cuvinte, din distribuția variabilei aleatoare bidimensionale (x, H) se poate judeca distribuția fiecăreia dintre cantitățile x și h.
În cazul variabilelor aleatorii bidimensionale continue, distribuțiile condiționate sunt construite în conformitate cu următoarea schemă.
Dacă p (x, H) (x, y) este densitatea de probabilitate a distribuției în comun a variabilei aleatoare bidimensionale (x, H), atunci densitățile de probabilitate ale fiecăruia dintre componentele ei sunt calculate prin formulele:
Densitatea condiționată a distribuției unei variabile aleatoare x, cu condiția ca variabila aleatoare h să aibă valoarea h = y0. este o funcție a variabilei x. definit prin formula
În mod similar, densitatea de distribuție condiționată a unei variabile aleatoare h sub condiția ca variabila aleatoare x să aibă valoarea x = x0. este o funcție a y. definite de formula
EXEMPLUL 1. Independența componentelor unui vector aleatoriu continuu
Luați în considerare un exemplu de variabilă continuă bidimensională, distribuită uniform în cercul unității. Să găsim densitățile de probabilitate ale fiecărei componente și densitățile lor de probabilitate condiționată. Să verificăm independența componentelor unei variabile aleatoare bidimensionale.
Un exemplu important pentru următoarea este dat de un vector aleator (x, H) care are o distribuție normală.
În cel mai general caz, densitatea de probabilitate a unui astfel de vector depinde de cinci parametri a x. ah. s x. s h și k xh și are forma:
În plus, putem găsi cu ușurință densitatea de distribuție a fiecăreia dintre variabilele aleatoare x și h:
și anume Variabilele aleatoare x și h au distribuții normale cu parametrii a x. ah. s x> 0,
Să considerăm acum distribuția condiționată a lui x în condiția h = y. Pentru aceasta, prin efectuarea unor calcule simple, găsim
Aceasta este o distribuție normală cu parametrii u.
În mod similar, putem găsi distribuția condiționată a distribuției condiționale h în condiția x = x:
Se poate observa că este normal și cu parametrii u.
EXEMPLUL 2. Independența componentelor unui vector aleator distribuit normal
Considerăm un exemplu de variabilă continuă bidimensională continuă distribuită în mod normal cu parametrii a x = 0, ah = 1, s x = 1, s h = 2. k xh = 0,5. Să găsim densitățile de probabilitate ale fiecărei componente și densitățile lor de probabilitate condiționată. Să verificăm independența componentelor unei variabile aleatoare bidimensionale.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: