Definiție 1. Un punct x al unei linii infinite se numește punctul limită al unei secvențe n> dacă în orice e-vecinătate a acestui punct există infinit mai multe elemente ale secvenței n>.
Lemma 1. Dacă x este un punct limită al secvenței k>, atunci din această secvență se poate selecta o subclasă nk> convergând la numărul x.
Notă. Converse este, de asemenea, adevărat. Dacă din secvența k> putem selecta o subsecventa convergind la un număr x, atunci numărul x este un punct limită al secvenței k>. Într-adevăr, în orice e-vecinătate a lui x există infinit mai multe elemente ale unei subsecvențe și, prin urmare, a secvenței k> ea însăși.
Din Lemma 1 rezultă că putem da o altă definiție a punctului limită al secvenței care este echivalent cu definiția 1.
Definiția 2. Un punct x al unei linii infinite este numit un punct limită al secvenței k> dacă din această secvență se poate selecta o subsecventa convergind la x.
Lemma 2. Fiecare secvență convergentă are doar un punct limită care coincide cu limita acestei secvențe.
Notă. Dacă secvența converge, atunci, prin Lemma 2, are doar un punct limită. Cu toate acestea, dacă n> nu este convergentă, atunci acesta poate avea mai multe puncte limită (și, în general, infinit multe puncte limită). Să arătăm, de exemplu, că are două puncte limită.
Într-adevăr, = 0,2,0,2,0,2. are două puncte limită 0 și 2; subsecvențe = 0,0,0. și = 2.2.2. Această secvență are limite corespunzătoare numerelor 0 și 2. Nu există alte limite pentru această secvență. Într-adevăr, x este orice punct al axei numerice, diferit de punctele 0 și 2. Luați e> 0 astfel
mic, astfel încât e este o vecinătate a punctelor 0, x și 2 sunt disjuncte. În cartierele punctelor 0 și 2 conțin toate elementele secvenței și prin urmare e-vecinătatea punctului x nu poate conține infinit de multe elemente și, prin urmare, nu este un punct limită al acestei secvențe.
Teorema. Pentru fiecare secvență limitată există cel puțin un punct limită.
Notă. Nici un singur număr x. nu este punctul limită al secvenței n>, adică, este cel mai mare punct limită al secvenței n>.
Fie x un număr arbitrar mai mare decât. Noi alegem e> 0 atat de mic,
și x 1 Î, la dreapta lui x 1 există un număr finit de elemente ale secvenței n> sau nu există deloc, adică x nu este un punct limită al secvenței n>.
Definiția. Cel mai mare punct limită al secvenței n> se numește limita superioară a secvenței și este notat cu simbolul. Rezultă din remarca că fiecare secvență limitată are o limită superioară.
În mod similar, se introduce noțiunea de limită inferioară (ca cel mai mic punct limită al secvenței n>).
Astfel, am demonstrat următoarea afirmație. Fiecare secvență limitată are o limită superioară și inferioară.
Afirmăm următoarea teoremă fără probe.
Teorema. Pentru ca secvența n> să fie convergentă, este necesar și suficient ca aceasta să fie mărginită și că limitele superioare și inferioare coincid.
Rezultatele acestei subsecțiuni conduc la următoarea teoremă de bază a lui Bolzano-Weierstrass.
Teorema lui Bolzano-Weierstrass. Din orice secvență limitată se poate selecta o subsecventa convergentă.
Dovada. Deoarece secvența n> este mărginită, ea are cel puțin un punct limită x. Apoi, din această secvență este posibilă selectarea unei subsecvențe care converge la punctul x (rezultă din definiția a 2 din punctul limită).
Notă. Din orice secvență limitată se poate identifica o secvență convergentă monotonică.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: