O permutare a numerelor 1, 2. n este orice aranjament al acestor numere într-o anumită ordine. În algebra elementară se demonstrează că numărul tuturor permutărilor care pot fi formate din n numere este 1 * 2. n = n. De exemplu, din cele trei numere 1, 2, 3 pot forma un 3 = 6 permutare: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Se spune că, într-o anumită permutare a numerelor i și j reprezintă inversiune (tulburare) dacă i> j , dar eu stau în această permutare înainte de j, adică dacă un număr mai mare este la stânga unui număr mai mic.
Se spune că o permutare este egală (sau ciudată). dacă există un număr par ial (ciudat) de inversiuni respectiv. Operația prin care o permutare merge de la o permutare la alta, compusă din aceleași numere n, se numește o n-a substituție a puterii.
Schimbare care transformă un permutare la altul, este înregistrată în două rânduri în paranteze comune, numărul care ocupă același spațiu în aceste permutări sunt denumite adecvate și scrise unul sub altul. De exemplu, simbolul reprezintă substituția în care comutatoarele 3 4 1 2 ®, ® 1 2, 3. 4 ® Substituire numit chiar (sau impare), în cazul în care numărul total de inversiuni în ambele rânduri de substituție este chiar (nui adevărat). Orice permutare a puterii n poate fi scrisă sub forma, adică cu aranjamentul natural al numerelor din linia superioară.
Să presupunem că avem o matrice pătrată de ordin n
Considerăm toate produsele posibile cu privire la n elemente ale acestei matrice, luate unul câte unul și numai unul din fiecare rând și fiecare coloană, adică produse de formă:
unde indicii sunt q1. q2. qn formează o permutare a numerelor 1, 2. n. Numărul de astfel de produse este egal cu numărul de permutări diferite ale n simbolurilor, adică este egal cu n. Semnul produsului (4.4) este egal cu. unde q # 8209; numărul de inversiuni în permutarea celorlalți indici ai elementelor.
Determinantul ordinii n care corespunde matricei (4.3) este suma algebrică n! termeni ai formularului (4.4). Pentru a scrie determinantul, utilizați simbolul
(determinant sau determinant al matricei).
1. Factorul determinant nu se modifică atunci când este transpus.
2. Dacă unul din rândurile determinantului constă în zerouri, determinantul este zero.
3. Dacă două rânduri sunt rearanjate în determinant, determinantul va schimba semnul.
4. Determinantul care conține două șiruri identice este egal cu zero.
5. Dacă toate elementele unui rând determinant sunt înmulțite cu un anumit număr k, atunci determinantul însuși este înmulțit cu k.
6. Determinantul care conține două rânduri proporționale este egal cu zero.
7. Dacă toate elementele din rândul i-lea determinantului sunt reprezentate ca suma a doi termeni, determinantul este egal cu suma determinanților în care toate liniile cu excepția i-lea - la fel ca într-un anumit determinant, iar rândul i-lea într-una din summands constă din elementele bj. în cealaltă, de la elementele cj.
8. determinantul nu se modifică dacă elementele corespunzătoare ale unui alt rând sunt adăugate la elementele uneia dintre liniile sale, înmulțite cu același număr.
Notă. Toate proprietățile rămân valide dacă luăm coloane în loc de rânduri.
Minorul unui element aij al determinantului d al ordinii n este un determinant al ordinii n-1, care este obținut de la d prin ștergerea rândului și coloanei care conține elementul dat.
O completare algebrică a elementului aij al determinantului d este minorul său. luate cu un semn. Completa algebrică a lui aij va fi notată. Astfel.
Metodele pentru calcularea practică a determinanților, pe baza faptului că determinantul ordinii n poate fi exprimat prin determinanții ordinelor inferioare, este dat de următoarea teoremă.
Teorema (extinderea unui determinant printr-un rând sau o coloană).
Factorul determinant este egal cu suma produselor tuturor elementelor dintr-un rând (sau coloană) arbitrar al elementelor lor prin complecșii lor algebrici. Cu alte cuvinte, există o extindere a d în ceea ce privește elementele rândului i
sau coloana j-a
În special, dacă toate elementele unui rând (sau coloană), cu excepția unuia, sunt zero, atunci determinantul este egal cu acest element înmulțit cu complementul său algebric.
Exemplul 2.4. Fără a calcula determinantul, arătați că acesta este zero.
Soluția. Se scade primul din linia a doua, obținem un determinant egal cu cel original. Dacă scădeți și primul din linia a treia, obțineți un determinant, în care cele două linii sunt proporționale. Un astfel de determinant este zero.
Exemplul 2.5. Calculați factorul determinant prin extinderea acestuia asupra elementelor celei de-a doua coloane.
Soluția. Extinim determinantul în ceea ce privește elementele celei de-a doua coloane:
Exemplul 2.6. Calculați determinantul
în care toate elementele de pe o latură a diagonalei principale sunt egale cu zero.
Soluția. Extinim determinantul cu primul rând:
Determinantul din dreapta poate fi extins din nou pe prima linie, după care primim:
Și așa mai departe. După n pași, ajungem la egalitate.
Exemplul 2.7. Calculați determinantul
Soluția. Dacă adăugăm primul rând la fiecare linie a determinantului începând cu cel de-al doilea, obținem un factor determinant în care toate elementele de sub diagonala principală vor fi zero. Anume, obținem determinantul:
Argumentând, ca și în exemplul anterior, constatăm că este egal cu produsul elementelor diagonalei principale, adică n. Modul în care se calculează acest determinant se numește metoda de reducere a formei triunghiulare.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: