Teoria probabilităților este o ramură a matematicii care studiază tiparele fenomenelor aleatoare.
Un experiment este un set reproductibil de condiții în care se observă fenomenul întâmplător observat. Un exemplu. Aruncați un zar sau o monedă.
Un eveniment este orice caracteristică calitativă sau cantitativă a evenimentului aleatoriu studiat. Un eveniment este numit autentic dacă vine întotdeauna ca rezultat al experienței. Un eveniment este numit imposibil, dacă nu poate veni ca rezultat al experienței.
În cazul aruncării unei monede, evenimente aleatorii vor fi "vultur" sau "cozi". În cazul unui zar, evenimentele aleatoare pot fi mai diverse, de exemplu: apariția pe fața superioară a unei unități de zaruri; un număr mai mare de trei; numărul prime, și așa mai departe.
Evenimentele aleatoare vor fi marcate cu litere mari latine A. B, etc.
Evenimentul imposibil va fi notat de V. și autentic prin litera U.
Definiție (definiție clasică a probabilității):
Probabilitatea unui eveniment A este numărul P (A) = m / n, unde n este numărul tuturor rezultatelor potențiale, exclusiv reciproc și la fel de probabile ale experimentului în cauză, m este numărul celor care sunt favorabile evenimentului A.
Din definiția probabilităților rezultă că probabilitatea unui eveniment nu este mai mică decât zero și nu mai mult de una: 0≤P (A) ≤1. În plus, P (V) = 0. și P (U) = 1.
Un exemplu. Experiența este aruncarea mingii în ringul de baschet. Ca urmare a experimentului, există două rezultate posibile: "minge în ring" sau "dor." Studentul Petrov a aruncat mingea de 10 ori în ring, dintre care șapte ratări și trei lovituri. Astfel, în această serie de fotografii, probabilitatea unui eveniment "minge în ring" este de 0,3, iar probabilitatea unui "miss" este de 0,7.
Definiția. Suma evenimentelor A și B este evenimentul C, ceea ce înseamnă că a apărut cel puțin unul dintre cele două evenimente A sau B. Faptul că evenimentul C este suma evenimentelor A și B este scris ca: C = A + B sau.
Definiția. Produsul evenimentelor A și B este evenimentul C, adică evenimentele A și B. Faptul că evenimentul C este rezultatul evenimentelor A și B este scris ca: C = A∋B sau.
Definiția. Evenimentul opus evenimentului A. este un eveniment. care constă în faptul că evenimentul A nu a avut loc.
Sarcina 1. În caseta 5 portocale și 4 mere. La întâmplare se selectează 3 fructe. Care este probabilitatea ca toate cele trei fructe sunt portocale?
Soluția. Rezultatele elementare sunt kituri care includ 3 fructe. Din moment ce ordinea fructelor este indiferentă, vom considera alegerea lor ca neordonată (și repetitivă). Numărul total de rezultate elementare este egal cu numărul de modalități de alegere a 3 fructe de la 9, adică numărul de combinații. Numărul de rezultate favorabile este egal cu numărul de modalități de a alege 3 portocale din cele 5 disponibile; . Atunci probabilitatea necunoscută
Sarcina 2. Profesorul oferă fiecăruia dintre cei trei elevi să se gândească la un număr de la 1 la 10. Presupunând că fiecare student alege un număr din cele date, este egal să găsească probabilitatea ca unul dintre ei să coincidă cu numerele concepute.
Soluția. Să calculam numărul total de rezultate. Primul student alege unul din 10 numere și are n1 = 10 posibilități, al doilea posedă și n2 = 10 posibilități; în al treilea rând, al treilea are și n3 = 10 posibilități. În virtutea regulii de multiplicare, numărul total de căi este: n = n1'n2'n3 = 10 3 = 1000, adică tot spațiul conține 1000 de rezultate elementare.
Pentru a calcula probabilitatea evenimentului A, este convenabil să mergeți la evenimentul opus, adică pentru a număra numărul de cazuri în care toți trei studenți concepeau numere diferite. Primul are încă m1 = 10 moduri de a alege un număr. Cel de-al doilea student are acum numai m2 = 9 oportunități, deoarece trebuie să aibă grijă ca numărul său să nu coincidă cu numărul planificat al primului student. Cel de-al treilea student este și mai limitat în alegere - are numai 8 oportunități. Prin urmare, numărul total de combinații ale numerelor concepute în care nu există coincidențe este m = 10 × 9 × 8 = 720. Cazurile în care există coincidențe rămân 280. În consecință, probabilitatea necesară este P = 280/1000 = 0,28.
Sarcina 3. Să presupunem că există n bile în urnă, M alb și negru N-M. Din urnă, se extrag n bile. Găsiți probabilitatea că printre ei vor exista exact m bile albe.
Soluția. Deoarece ordinea elementelor este neimportantă, numărul tuturor seturilor posibile de volum n de elemente N este egal cu numărul de combinații. Numărul de încercări care favorizează evenimentul A - "m balls white, n-m black", este egal cu. și, prin urmare, probabilitatea necesară este P (A) =.
Problema 4. Punctul a fost abandonat aleator pe intervalul [0; 2]. Care este probabilitatea de a cădea în intervalul [0.5; 1.4]?
Soluția. Aici spațiul rezultatelor elementare este întregul segment. dar o mulțime de rezultate favorabile. în timp ce lungimile acestor segmente sunt egale și respectiv. prin urmare
Problema 5 (problema întâlnirii). Două persoane A și B au convenit să se întâlnească într-un anumit loc între orele 12 și 13. Primul așteaptă celălalt în 20 de minute, după care pleacă. Care este probabilitatea întâlnirii persoanelor A și B dacă sosirea fiecăruia dintre ele poate apărea la întâmplare în timpul specificat și momentele de sosire sunt independente?
Soluția. Indicați momentul sosirii feței A prin x și a feței B prin y. Pentru ca o întâlnire să aibă loc, este necesar și suficient ôxyô20 de lire sterline. Reprezentăm x și y ca coordonate pe plan, ca o unitate de scară, selectăm un minut. Toate rezultatele posibile sunt reprezentate de punctele din pătrat cu partea 60, iar cele care favorizează întâlnirea sunt situate în zona umbrită. Probabilitatea necesară este egală cu raportul ariei figurului umbrit (Figura 2.1) cu aria întregului pătrat: P (A) = (60 2 -40 2) / 60 2 = 5/9.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: