În această lucrare, considerăm o distribuție mai discretă. care este utilizat pe scară largă în practică. N-am avut timp să deschid un curs despre teoria probabilităților. ca imediat a început să primească cereri: "Unde este Poisson? Unde sunt problemele cu formula Poisson? ", Etc. Și așa voi începe cu o aplicație specială a distribuției Poisson - având în vedere cererea ridicată pentru material.
Sarcina la durerea euforiei este familiară:
- au efectuat teste independente. în fiecare dintre care poate apărea un eveniment aleatoriu cu probabilitate. Este necesar să se găsească probabilitatea ca în această serie de teste evenimentul să apară exact o dată.
În cazul în care numărul de teste este mare (sute și mii). această probabilitate este de obicei calculată aproximativ - folosind teorema locală Laplace. , unde.
Cu toate acestea, există o „legătură slabă“ - Laplace teorema începe să acționeze în sus în mod serios (dând o eroare mai mare), în cazul în care probabilitatea este mai mică de 0,1 (și mai puțin este mai rău). Prin urmare, aici sunt folosind o metodă diferită, și este distribuția Poisson.
Deci, în cazul în care numărul de încercări este suficient de mare, și probabilitatea de apariție a unui eveniment într-un singur test, este destul de mic (0,05-0,1 sau mai puțin), atunci probabilitatea ca în această serie de teste, evenimentul va apărea exact o dată, poate fi calculată aproximativ conform formulei lui Poisson :
, unde
Îmi amintesc că factorul zero și, prin urmare, formula are sens.
În loc de "lambda" folosiți și litera "a".
În noul cartier, pe ușile de intrare ale caselor se află 10 000 de încuietori de cod. Probabilitatea eșecului unei blocări în cursul lunii este de 0,0002. Găsiți probabilitatea ca o lună să refuze exact 1 blocare.
Utopian, desigur, sarcina, dar ce să facem - noi decidem :)
În acest caz, numărul de "teste" este mare, iar probabilitatea de "succes" în fiecare dintre ele este mică: prin urmare, folosim formula Poisson:
Calculăm:
- În esență, acesta este numărul mediu așteptat de blocări eșuate.
În acest fel:
- probabilitatea ca într-o singură lună să nu reușească o singură închidere (din 10 mii).
Din punct de vedere tehnic, acest rezultat poate fi obținut în mai multe moduri, le voi spune despre ele în perspectiva istorică:
1) Folosind o masă specială, care se găsește încă în multe cărți despre Tver. Acest tabel rezumă diferitele valori și probabilitățile corespunzătoare. Tabulare se datorează faptului că, la un moment dat nu au existat calculatoare pentru calcularea valorilor funcției exponențiale. De aici, apropo, există o tradiție de a rotunji calculele cu 4 zecimale - ca în tabelul standard.
2) Utilizarea calculului direct pe calculator (progres!).
3) Utilizarea funcției standard Exil:
= Poisson (m; lambda; 0)
în această sarcină, conducem în orice celulă Excel = Poisson (1; 2; 0) și apăsăm Enter.
Trebuie remarcat faptul că dezvoltarea tehnologiei informatice a trimis de fapt istoriei metodele lui Laplace. și metoda în cauză este, de asemenea, din cauza faptului că este ușor să se calculeze răspunsul mai exact prin formula lui Bernoulli:
Aici am folosit funcția BINOMDIST. despre care a menționat în mod repetat mai devreme.
Formula Poisson, totuși, oferă o aproximare foarte abruptă:
- cu o eroare de numai 9 zecimale!
Totuși, toate acestea sunt versurile, este totuși necesar să se decidă prin formula lui Poisson:
Planta a trimis 500 de produse la rețeaua de vânzări. Probabilitatea deteriorării produsului în tranzit este de 0,003. Găsiți probabilitatea ca în timpul transportului să se deterioreze: a) nu există articole, b) exact trei produse, c) mai mult de trei articole.
Soluția. folosim formula Poisson:
În acest caz:
- numărul mediu așteptat de produse deteriorate
a)
- probabilitatea ca toate produsele să ajungă intacte și intacte. Nimic nu va fi furat, într-un cuvânt :)
b)
- probabilitatea ca exact 3 articole din 500 să fie deteriorate în timpul transportului.
c)
Și aici totul este puțin mai complicat. În primul rând, găsim - probabilitatea ca nu mai mult de trei produse să deterioreze calea. Prin teorema adițională pentru probabilitățile evenimentelor incompatibile:
Este de la sine înțeles că este plictisitor să numărați mânerele, așa că am adăugat construirea automată a distribuției Poisson modelului meu de aspect (vezi punctul 7) - folosiți-l pentru sănătate.
Probabilitatea producerii de piese defecte pentru producția lor în masă este. Determinați probabilitatea ca un lot de 800 de părți să: a) exact 2 defecte, b) nu mai mult de două.
Soluția și răspunsul la sfârșitul lecției.
Uneori condiția apare într-o interpretare ușor diferită. Astfel, în problema propusă, este posibil ca căsătoria de producție să fie de 0,1% sau, de exemplu, "o medie de 0,8 părți pe mie". Vă rugăm să rețineți că în acest din urmă caz ni se dă înțelesul "lambda".
În acest sens, în orice caz, nu vă opriți capul - chiar și în astfel de exemple simple!
Și acum despre distribuția lui Poisson. O variabilă aleatoare distribuită în conformitate cu această lege ia un număr infinit și numărare de valori, probabilitatea apariției acesteia fiind determinată de formula:
Sau, dacă pictați în detaliu:
În teorie, se stabilește că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare Poisson este egală cu variația și aceeași valoare :.
Rețineți că, în toate sarcinile de mai sus avem doar de a utiliza distribuția Poisson pentru a aproxima calcul de probabilitate, în timp ce valoarea exactă ar trebui să fie găsit din ecuația lui Bernoulli. și anume a existat o distribuție binomică.
Iar următoarele două sarcini sunt fundamental diferite de cele anterioare:
Variabila aleatoare este supusă legii lui Poisson cu așteptări matematice. Găsiți probabilitatea ca o variabilă dată aleasă să ia o valoare mai mică decât așteptările matematice.
Diferența este că aici vorbim de distribuția Poisson.
Soluția. variabila aleatoare ia valori cu probabilități:
Prin condiție și aici totul este simplu: evenimentul are trei rezultate incompatibile:
probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare mai mică decât așteptările sale matematice.
O sarcină similară pentru înțelegere:
Variabila aleatoare este supusă legii lui Poisson cu așteptări matematice. Găsiți probabilitatea ca o anumită variabilă aleatoare să aibă o valoare pozitivă.
Soluția și răspunsul la sfârșitul lecției.
În plus față de aproximarea distribuției binomiale (Exemple 1-3), distribuția Poisson a găsit o aplicație largă în teoria de așteptare pentru caracteristica de probabilitate a celui mai simplu flux de evenimente. Voi încerca să fiu laconic:
Deci, permiteți un simplu flux de aplicații cu o rată medie de aplicare pe minut (pe oră, pe zi sau la un interval de timp arbitrar) să intre într-un sistem. Apoi, probabilitatea de asta pe o anumită perioadă de timp. sistemul va primi exact aplicațiile, este:
Apelurile către dispecerul de taxiuri sunt un debit Poisson simplu, cu o intensitate medie de 30 de apeluri pe oră. Găsiți probabilitatea că: a) timp de 1 min. vor exista 2-3 apeluri, b) în termen de cinci minute va exista cel puțin un apel.
Soluția. folosim formula Poisson:
a) Având în vedere stationaritatea debitului, se calculează numărul mediu de apeluri pe minut:
apel - o medie de un minut.
Prin teorema adițională pentru probabilitățile evenimentelor incompatibile:
- probabilitatea ca în 1 minut să fie trimise 2-3 apeluri în camera de control.
b) Calculați numărul mediu de apeluri în cinci minute:
Potrivit formulei lui Poisson:
- probabilitatea ca în 5 minute să nu mai fie un singur apel.
Prin teorema adițională pentru probabilitățile evenimentelor opuse:
- probabilitatea că va exista cel puțin un apel în 5 minute.
Rețineți că, în ciuda numărului finit de apeluri posibile (și este, în principiu, finit), aici este distribuția Poisson, și nu altele.
Pentru o soluție independentă:
Numărul mediu de mașini care urmează să fie vămuit în decurs de o oră este 3. Găsiți probabilitatea că: a) timp de 2 ore vor fi scanate de la 7 la 10 mașini; b) pentru doar o jumătate de oră, va fi verificată doar o mașină.
Soluția și răspunsul la sfârșitul lecției.
Probabil mulți știu că teoria serviciului de masă este o secțiune vastă și foarte interesantă de matematică aplicată, iar acum ne-am familiarizat cu cea mai simplă sarcină.
Exemple suplimentare privind distribuția și formula Poisson pot fi găsite în fișa tematică pdf. și vă sugerez să vă familiarizați cu un alt lucru popular - distribuția probabilităților hipergeometrice.
O lectură plăcută și utilă!
Soluții și răspunsuri:
Exemplul 3. Soluție: utilizați formula Poisson:
, în acest caz:
a) este probabilitatea ca în acest lot să existe exact două părți defecte.
b) prin teorema adunării probabilităților de evenimente incompatibile:
- probabilitatea ca în acest lot să nu existe mai mult de 2 elemente defecte.
Exemplul 5. Soluție. variabila aleatoare ia valori cu probabilități. Prin ipoteză ,.
Să găsim probabilitatea ca variabila aleatoare să aibă valoarea zero:
Prin teorema adițională pentru probabilitățile evenimentelor opuse:
- probabilitatea ca o variabilă aleatoare să aibă o valoare pozitivă
Exemplul 7. Soluție. presupunând că fluxul este simplu, folosim formula Poisson:
a) Calculați - numărul mediu de autovehicule supuse vămuirii, în decurs de 2 ore.
Prin teorema adițională pentru probabilitățile evenimentelor incompatibile:
- probabilitatea ca în 2 ore inspecția să dureze între 7 și 10 mașini
b) Calculați - numărul mediu de mașini care sunt inspectate, timp de 1/2 oră.
Potrivit formulei lui Poisson:
- probabilitatea ca pentru o jumătate de oră vămuirea va fi doar o mașină.
(Du-te la pagina principală)
Munca de calitate fără plagiat - Zaochnik.com
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: