Aici m i = S30 (xi); m i + 1 = S30 (xi + 1). Pentru a le determina, sunt impuse conditiile de continuitate ale celui de-al doilea derivat la punctul xi, iar restrictia asupra valorii splinei si a derivatelor sale la capetele intervalului [a, b] este conditiile limita. Adică, aveți nevoie de informații suplimentare despre funcția pentru care este nevoie de interpolare.
La construirea unei spline cubice de interpolare, cele mai des utilizate condiții limită de patru tipuri. Alegerea condițiilor limită este una din problemele centrale ale interpolării funcțiilor. Este deosebit de important dacă este necesar să se asigure o precizie ridicată a aproximării funcției f (x) prin spline S (x) în apropierea capetelor intervalului [a, b]. Valorile limită influențează semnificativ comportamentul splinei S (x) în apropierea punctelor a și b. Această influență este repede slăbită când le lăsăm.
Dacă valorile derivatei i-a f0 (x) sunt cunoscute la capetele lui [a, b], atunci este firesc să se utilizeze condițiile de graniță de tip întâi.
1. Condiții de limită de tipul 1. Dacă se știe că S 3 0 (a) = f 0 (a); S 3 0 (b) = f 0 (b), apoi pentru a determina
• Înapoi • Primul • Anterior • Următorul • Ultimul • Salt • Index
Dacă există o alegere între condițiile limită de tip 1 și 2, atunci primul tip ar trebui să aibă prioritate.
3. Condiții de limită a celui de-al treilea tip
În cazul în care nu există informații suplimentare privind comportamentul funcției care trebuie aproximată, adesea așa-numitele condiții limită naturale
S00 (a) = 0, S00 (b) = 0.
• Înapoi • Primul • Anterior • Următorul • Ultimul • Salt • Index
Cu toate acestea, trebuie avut în vedere faptul că, prin această alegere a condițiilor limită, precizia aproximării funcției f (x) prin spline S (x) în apropierea capetelor intervalului [a, b] scade drastic. Uneori sunt utilizate condiții limită ale primului sau celui de-al doilea tip, dar nu cu valorile exacte ale derivatelor corespunzătoare, dar cu diferențele lor aproximative. Precizia acestei abordări nu este mare.
Experiența practică a calculelor arată că într-o astfel de situație alegerea condițiilor naturale de graniță este cea mai expeditivă.
Daca f (x) este o functie periodica, atunci trebuie sa ne oprim la conditiile limita ale celui de-al treilea tip.
4. Condiții limită de tipul IV. Dacă f (x) - o funcție f periodică (x) = f (x + T), atunci f (x 0) = f (x n), f (x 1) = f (x n + 1) m 0 = m n. m 1 = m n + 1 și sistemul de ecuații are forma
Dacă funcția interpolat f (x) este în intervalul [, b] un prim derivat continuu, adică, f (x) C1 [a, b], și S (x) - interpolarea spline care satisface condițiile limită ale 1 sau Din al treilea tip, atunci pentru h → 0 avem
kf (x) - S (x) k C = o (h), kf 0 (x) - S 0 (x) k C = o (1).
În acest caz, nu numai că spline converge la funcția interpolată, dar derivatul spline converge la derivatul acestei funcții.
În cazul în care f (x) C 4 [a, b], splinea S (x) aproximează funcția f (x) pe intervalul [a, b]
iar cei doi derivați aproximează funcțiile f 0 (x) și f 00 (x), respectiv:
k (x) - S (x) k C = o (h 4), kf 0 (x) - S 0 (x)
kf 0 (x) - S 0 (x) k C = o (h 2).
Proprietatea extremală a unui spline cubic
Splinea cubică interpolantă are încă o proprietate utilă. Luați în considerare problema. Sarcina. Construiește o funcție f (x) care minimizează funcționalitatea
I (f) = (f 00 (x)) 2 dx
• Înapoi • Primul • Anterior • Următorul • Ultimul • Salt • Index
Trimiteți-le prietenilor: