Matrice de mapare liniară și transformări pentru spații finit-dimensionale. Operații asupra transformărilor liniare în formă de coordonate. Schimbarea matricei unei hărți liniare sub înlocuirea bazelor.
Coordonarea înregistrării mapărilor. Luați în considerare spațiile lineare Y și Y 'ale dimensiunilor n și m și o mapare liniară A: Y -> Y'. Fie e1e2..en o bază în Y. Atunci imaginea unui vector arbitrar x = e1 + ... + en se descompune într-o combinație liniară
Aceasta înseamnă că A (x) poate fi găsit din coordonatele x dacă știm imaginile vectorilor de bază A (e1) .. A (en).
De asemenea, alegem o bază în spațiul Y '. Fie ca asta să fie f1 ... fm. Fiecare dintre imaginile vectorilor de bază poate fi extinsă în f.
Dacă componentele vectorului A (x) sunt notate cu h 1. hm, atunci (3) poate fi rescris ca
Prin urmare, prin unicitatea extinderii în bază
Dacă formăm o matrice A dintr-un număr, atunci egalitatea (4) poate fi scrisă sub formă de matrice
Aici, imaginea de coordonate vectorul coloană x (în bază f) este exprimată ca produs al matricei A n m în mărime de pe coloana de coordonate a vectorului x în bazive e.
Cu bazele alese în spațiile Y Y ', fiecare matrice de dimensiuni m pe n servește ca matricea unor mapări lineare Y -> Y'.
Propoziția 4. Rangul matricei unei mapări liniare este egal cu rangul acestei mapări.
Dovada. Să j 1. j r numere de bază de coloane ale matricei A mapping A. liniară Apoi vectorii A (e_ J1) ... A (e _ jr) liniar independente și fiecare dintre vectorii (e i) (i = 1 N), se descompune pe acesta. În consecință, putem descompune imaginea A (x) a oricărui vector numai peste A (e_j1) ... A (e_jr). Astfel, acești vectori formează o bază în ImA. iar numărul acestora este egal cu gradul de A.
Propoziția 5. Suma rangului de mapare și a dimensiunii kernelului său este egală cu dimensiunea spațiului care este mapat.
Dovada. Conform formulei (5), kernelul de cartografiere este determinat de un sistem de ecuații liniare cu necunoscute. Rangul matricei sistemului este egal cu rangul de mapare r. Sistemul fundamental al soluțiilor acestui sistem constă în soluții d = n - r, care sunt coloanele de coordonate ale vectorilor care formează baza nucleului.
Schimbarea matricei unei mapări liniare atunci când bazele sunt înlocuite
Considerăm un vector arbitrar x al spațiului Y și imaginea lui y = A (x). Fie x coordonate coloanele în bazele de e și e „respectiv, prin coloanele și y coordonatele în bazele f și f“ prin h și h «Referindu formula tranziție la o nouă bază Substituind aceste expresii în ecuația (5) obținem Ph» = AS. Deoarece matricea de tranziție are inversul h '= AS. Dar, conform formulei (5) h '= A' Din moment ce matricea mapării liniare pentru o pereche dată de baze este unică, obținem
Forma canonică a matricei unei hărți liniare
Pentru orice mapare liniară A: Y → Y a rangului r, se pot alege baze în Y Y astfel încât să aibă o matrice
Unde Er este matricea unității r. Dacă elementele rămase sunt egale cu 0.
Dovada. Am plasat vectorii. baza spațiului Y în Ker A (dimensiunea lui este doar n - r) iar vectorii ... pot fi aleși arbitrar. Având în vedere această alegere, pentru orice bază Y ', ultimele coloane n - r ale matricei A vor fi zero. Deoarece RgA = r, primele coloane trebuie să fie independente liniar. Prin urmare, vectorii A () sunt independenți liniar. A (). Le luam ca prim vectori de bază r în spațiul Y și vectorii otasali. Alegem această bază în mod arbitrar. Cu această alegere, primele coloane r din A sunt primele coloane r ale matricei unității de ordin m. Aceasta este forma căutată.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: