Integral dublu

Problemele care duc la dublu integrale

Problema volumului unui cilindru. Considerăm un corp limitat de o suprafață z = f (x, y) cu o bază S situată în planul Oxy. și o suprafață cilindrică cu o generatoare paralelă cu axa Oz. și linia de ghidare, care este limita regiunii S (Figura 1 (a)). Un astfel de corp este numit un cilindru. Este necesar să se calculeze volumul acestui cilindru.

Pentru a rezolva această problemă, împărțiți domeniul S (fig. 1 (b)), o rețea de arce pe un număr finit de regiuni elementare (δS1), (δS2), ..., (δSn), suprafața pe care este notat cu δS1. δS2. ..., δSn, respectiv. În fiecare dintre regiunile elementare (δSk) (k = 1, hellip, n) alegem arbitrar un punct arbitrar Mk (xk, yk) și înmulțim valoarea funcției în acest punct f (xk, yk) de aria regiunii δSk. Produsul f (xk, yk) δSk este egal cu volumul unui corp cilindric cu o arie de bază δSk și înălțimea hk = f (xk, yk). Suma tuturor acestor produse exprimă volumul Vn al unui corp cilindric în trepte care înlocuiește aproximativ cilindrul,

Denumim diametrul regiunii elementare (δSk) de către dk. iar cea mai mare dintre diametre este λn. care este. Evident, dacă λn → 0. atunci n → ∞.

Volumul unui cilindru este limita de volum a corpului de treaptă corespunzător pentru λn → 0.

Problema masei unei plăci. Luați în considerare regiunea S a avionului Oxy. delimitată de o linie închisă în care se distribuie o substanță cu o densitate p = f (x, y) ≥ 0. O astfel de regiune se numește placă. Este necesar să se calculeze masa plăcii.

DOMENIUL S rețea arce este împărțită în regiuni elementare (δS1), (δS2), ..., (δSn), suprafața care este notat cu δS1. δS2. ..., δSn, respectiv. Să presupunem că în fiecare regiune elementară densitate δSk este constantă și egală cu densitatea la un punct Mk (xk, yk) în zonă, adică pk = f (xk, yk). Apoi produsul de f (xk, yk) δSk exprimă o masă aproximativă a plăcilor elementare (δSk) și suma tuturor acestor produse - greutatea aproximativă mn întreaga placă, adică.

Masa exactă a întregii plăci se obține prin trecerea la limită ca λn → 0. unde λn este cea mai mare dintre diametrele dk ale domeniului (δSk) :.

Astfel, două probleme diferite au condus la luarea în considerare a limitei unei singure sume integrale bidimensionale. Acest lucru ne permite să introducem conceptul general al unui integral dublu.

Definiția integratului dublu

Luați în considerare funcția z = f (x, y). definită în domeniul S. printr-o curbă închisă limitată. arce FIELD S diviza rețea pentru regiuni n elementare (δS1), (δS2), ..., (δSn), având zona δS1. δS2. ..., δSn, respectiv. In fiecare dintre regiunile elementare (δSk) (k = 1, ... n) alege arbitrar un punct Mk (xk, yk) și valoarea funcției în punctul f (xk, yk) pentru a se multiplica zona δSk. Să compilam suma tuturor acestor produse

care se numește suma integrală pentru funcția f (x, y) pe domeniul S.

Denumim prin dk diametrul regiunii elementare (δSk). Fie λn cea mai mare dintre toate diametrele, adică.

Definiția. Numărul I se numește limita sumei integrate In pentru λn → 0. dacă pentru orice număr ε> 0 există un număr δ> 0 astfel încât pentru λn <δ выполняется неравенство |I-In | <ε независимо от выбора точек Mk (xk ,yk ) в элементарных областях (δSk ).

Definiția. Un integrat dublu al funcției f (x, y) pe un domeniu S este limita sumei sale integrale ca λn → 0.

Funcția f (x, y) se numește interand, iar domeniul S se numește domeniul de integrare.

Integrul dublu al funcției f (x, y) în domeniul S este de asemenea indicat după cum urmează:

Aprobarea. Există o limită dacă funcția z = f (x, y) este continuă într-un domeniu închis cu zonă.

Dacă există o limită dată, atunci funcția f (x, y) se spune că este integrabilă în domeniul S.

Astfel, am obținut că volumul unui cilindru este exprimat după cum urmează:

Semnificația geometrică a integrala dublă. Integralul dublu al funcției f (x, y) pe domeniul S este egal cu volumul cilindrului cu baza S și suprafața z = f (x, y) delimitată mai sus.

De asemenea, masa plăcii este exprimată prin formula:

Sensul fizic al integrala dubla. Dacă funcția non-negativă p = f (x, y) exprimă densitatea de suprafață a plăcii S. atunci masa acesteia este egală cu integralele duble ale funcției date pe regiunea dată S.

Proprietățile integralelor duble

1) Dacă funcțiile f (x, y) și φ (x, y) pot fi integrate în domeniul S. atunci suma și diferența lor sunt integrabile în ea și

2) Factorul constant poate fi luat în afara semnalului integratului dublu

3) Dacă f (x, y) poate fi integrat în domeniul S. Această regiune este împărțită în două domenii disjuncte S1 și S2.

4) Dacă f (x, y) și φ (x, y) pot fi integrabile în domeniul S. în care f (x, y) ≤ φ (x, y).

5) Dacă f (x, y) poate fi integrat în domeniul S. atunci | f (x, y) | Este, de asemenea, integrabil în ea, și

6) Dacă funcția f (x, y) satisface inegalitățile m ≤ f (x, y) ≤ M. în domeniul (S), atunci

unde S reprezintă zona regiunii (S).

Calculul integratului dublu în coordonate carteziene dreptunghiulare

Cazul unei regiuni dreptunghiulare. Să se solicite calcularea integratului dublu

unde domeniul P este un dreptunghi determinat de inegalitățile a ≤ x ≤ b. c ≤ y ≤ d (figura 2). Să presupunem că f (x, y) ≥ 0 și continuă în dreptunghi, apoi dublu integralei este volum egal al corpului cu o suprafață superioară de bază delimitată P. z = f (x, y). din laturi - planuri x = a. x = b. y = c. y = d.

Pe de altă parte, volumul corpului unde S (x) - aria secțiunii transversale a planului a corpului care trece prin punctul x și perpendicular pe axa Ox.

Deoarece secțiunea considerată este un trapez curbil, delimitat mai sus de graficul funcției z = f (x, y). unde x este fix, c ≤ y ≤ d. apoi din sensul geometric al integratului definit pe care îl avem:

Aici integrale pe partea dreaptă se numește integrale repetate.

Astfel, calculul acestui integral dublu a fost redus la calculul a două integrale definite; La calcularea integralului "interior" (în paranteze pătrate), se presupune că x este constantă.

Notă. Această formulă este valabilă pentru orice funcție f (x, y).

Integralul repetat este notat după cum urmează:

În mod similar, se poate demonstra că

adică rezultatul integrării nu depinde de ordinea integrării.

Articole similare

Pagina anterioară