Prezentăm teorema existenței și unicității pentru o soluție care nu este rezolvată în raport cu derivatul.
Teorema Există o soluție unică de ecuație
Acesta este definit în unele cartiere ale punctului și satisface condiția. pentru care unde este una dintre rădăcinile reale ale ecuației. dacă într-un cartier închis al punctului
funcția îndeplinește următoarele condiții:
1) este continuă în toate argumentele;
2) derivatul există și este diferit de zero;
3) există un derivat absolut limitat.
În punctele soluției singulare, cel puțin una dintre condițiile acestei teoreme trebuie încălcată. În ecuațiile diferențiale întâlnite în problemele aplicate, condițiile 1) și 3) sunt de obicei satisfăcute, dar condiția este adesea încălcată. Astfel, în punctele soluției singulare, două condiții trebuie îndeplinite simultan:
De obicei, sistemul de ecuații
Eliminarea din aceste ecuații. obținem ecuația
Definiția. Setul de puncte (curba din plan), determinat de ecuație. este numit setul discriminant al punctelor din curba (- discriminantă) a ecuației (1).
O curbă discriminantă poate fi formată din una sau mai multe curbe
O. Dacă ecuația (1) are o soluție specială, atunci ea se numără printre aceste curbe discriminante.
Rețineți că la punctele care satisfac ecuația (3), unicitatea soluției ecuației (1) nu este neapărat încălcată. Acest lucru rezultă din faptul că condițiile teoremei sunt suficiente numai pentru unicitatea solutiei, dar nu este necesar și, prin urmare, o încălcare a - o condiție a teoremei oferă doar o condiție necesară pentru existența unor soluții speciale. B - setul discriminant de puncte, cu excepția unei soluții speciale, poate include un set de puncte multiple de curbe integrale, cum ar fi punctele de ascuțire, punctele nodale, punctele de contact etc. care, în general, nu pot fi curbe integrale. De exemplu, locul geometric al punctelor nodale ale curbelor integrale pot să nu fie curba integrală, deoarece punctele nodale direcția tangent curbei integralei nu coincide cu o direcție tangentă la o curbă care constă din punctele nodale.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: