Acum considerăm astfel de serii, semnele ale căror termeni sunt deja complet arbitrari. Din nou, acest lucru este indicat de a1. a2. a3. membrii seriei înșiși.
Teoremă 1. Comparație cu seria
compus din valorile absolute ale termenilor seriei date. Dacă seria (40) converge, atunci seria originală (39) converge, de asemenea.
De fapt, lăsați seria
Există un număr format din toate pozitive (sau zero) a membrilor seriei (39) [și poziția lor relativă este aceeași ca într-un număr de (39)]. Să presupunem, în continuare,
există o serie de magnitudine absolută a termenilor negativi ai seriei (39) (situată și în ordinea în care acești termeni se urmează unul pe altul în seria originală).
Fiecare dintre rânduri (41) și (42) se obține din seria pozitivă convergentă (40) prin deleția membrilor săi (de exemplu, cea a (40) pentru a primi (41) trebuie să ștergeți (40) din c1. C2. C3.) . Astfel, prin Teorema 4 rânduri (41) și (42) converg. Noi le reprezintă, respectiv, cu suma de B și C.
Noi denotăm prin An. Bn și Cn sunt sume parțiale ale seriei (39), (41) și (42). Lăsați printre numere
Există m (n) ne-negative și p (n) negative.
Partea dreaptă a acestei ecuații tinde spre diferența B -C cu creșterea n. Prin urmare, partea stângă, de asemenea, tinde la aceeași limită. Teorema este dovedită.
Observăm că convergența seriei (39) nu implică faptul că (40) converge. De exemplu, seria
converge (aceasta rezultă, cel puțin, din teorema Leibniz), dar seriile compuse din cantități absolute, fiind armonice, se deosebesc.
Astfel, cerința de convergență a seriei (40) prezintă condiții mai severe decât convergența seriilor (39). În acest sens, un număr de (39), care converge nu numai eu, dar pentru care un număr de valori absolute se numește absolut convergentă. În cazul în care seria (39) converge, dar seria (40) divergent, atunci spunem că (39) are un număr de non-absolut convergente.
rezolvând unele probleme
* Presupunem că în (39) există un set infinit de seturi pozitive și infinite de termeni negativi, deoarece altfel totul devine trivial.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: