Seria alternativă este un caz special al seriei alternante.
Definiția 2.2. Serii de numere. ai căror membri, după orice număr, au semne diferite, se numește alternativă.
În cazul seriei alternative, este valabil următorul criteriu general de convergență.
TEOREM 2.2. Să se dea o serie alternativă
Dacă o serie constând din termenii termenilor din seria dată converge
atunci seria alternativă (2.2) converge în sine.
Trebuie notat faptul că conversia nu este adevărată: dacă seria (2.2) converge, atunci aceasta nu înseamnă că seria (2.3) converge.
Definiția 2.3. Se spune că o serie alternativă este absolut convergentă. Dacă seria compusă din modulele termenilor săi converge.
Se spune că o serie alternativă este convergentă condiționată. dacă ea însăși converge, iar seria compusă din modulele membrilor săi se diferențiază.
Printre seria alternativă, seriile absolut convergente ocupă un loc special. Astfel de serii au un număr de proprietăți, pe care le formulăm fără dovadă.
- Dacă seria este absolut convergentă și are o sumă. atunci seria obținută din ea prin permutarea termenilor converge și are aceeași sumă. (teorema lui Dirichlet).
- Serii absolut convergente cu sume și pot fi adăugate (scad) termen pe termen. Ca rezultat, se obține o serie absolut convergentă, suma care este (sau respectiv).
- Sub produsul din două serii înțelegem o serie de forme:
Produsul a două serii absolut convergente cu sume este o serie absolut convergentă a cărei sumă este.
Astfel, seriile absolut convergente sunt însumate, scoase, multiplicate ca serii obișnuite. Sumele acestor serii nu depind de ordinea intrărilor termenilor.
În cazul seriei convergente condiționate, afirmațiile (proprietățile) corespunzătoare, în general, nu se mențin.
Astfel, permițând termenii unei serii convergente condiționat, se poate realiza faptul că suma seriei se modifică. De exemplu, seriile sunt convergente condiționate pe baza lui Leibniz. Să fie suma acestei serii. Ne rescriim termenii astfel incat dupa doua termene pozitive sa urmeze doua negative. Obținem seria
Suma a fost redusă la jumătate!
Mai mult decât atât, prin rearanjarea condiționat serii convergente pot obține serii convergente cu o cantitate predeterminată sau o serie de divergente (teorema lui Riemann).
Prin urmare, acțiunile asupra seriei nu pot fi făcute fără a realiza că ele sunt absolut convergente. Pentru a stabili convergența absolută, se folosesc toate criteriile de convergență ale seriei numerice cu termeni pozitivi, înlocuind termenul comun peste tot cu modulul său.
Exemplul 2.1. Investigați seria de convergență.
Soluția. Linia de pornire este alternantă. Luați în considerare o serie compusă din valorile absolute ale termenilor unei serii date, adică serii. Deci, cum. atunci termenii unei serii similare nu sunt mai mari decât termenii seriei Dirichlet. care, după cum se știe, converge. Prin urmare, pe baza semnului de comparație, această serie converge absolut.
Exemplul 2.2. Investigați seria de convergență.
Soluția. 1) Această serie este alternantă. Folosim testul Leibniz. Să verificăm dacă sunt îndeplinite condițiile.
În consecință, seriile originale converg.
2) Luați în considerare o serie compusă din termeni absoluți. Să o investigăm pentru convergență, folosind testul d'Alembert
Pe baza d'Alembert, o serie compusă din termeni absoluți converge. Prin urmare, seria alternativă originală converge absolut.
Exemplul 2.3. Investigați seria de convergență.
Soluția. 1) Această serie este alternantă. Folosim testul Leibniz. Să verificăm dacă sunt îndeplinite condițiile.
În consecință, seriile originale converg.
2) Luați în considerare o serie compusă din termeni absoluți. Să o examinăm pentru convergență, folosind semnul limită al comparației. Luați în considerare seria armonică. care se deosebește.
În consecință, ambele serii se comportă identic, adică O serie compusă din termeni absoluți diferă de asemenea. Prin urmare, seria alternativă originală converge condiționat.
Exemplul 2.4. Investigați seria de convergență.
Soluția. Această serie este alternantă. Folosim testul Leibniz. Să verificăm dacă sunt îndeplinite condițiile.
În consecință, seriile originale se deosebesc.
Exemplul 2.5. Calculați cu exactitate suma din serie.
Soluția. Această serie este alternantă. Pe baza lui Leibniz, această serie este convergentă. Prin urmare, atunci când se calculează valoarea numărului de reziduuri aruncate, care este, de asemenea, o parte alternantă de alta, nu depășește primul termen neglijat (pe baza caracteristicii de investigație Leibniz).
Noi găsim numărul necesar de termeni alegând din inegalitate. Dacă ultima inegalitate este satisfăcută, atunci dacă renunțăm la toți termenii din rândul dat începând cu al șaselea, atunci se va asigura precizia cerută. Prin urmare,
3. FUNCȚIONALE ȘI
Definiție 3.1. Fie funcțiile definite în domeniu. Apoi o expresie a formei
se numește o serie funcțională.
Oferirea de valori definitive. obținem seria numerică
care pot fi fie convergente, fie divergente.
Definiția 3.2. Dacă seria numerică converge pentru. atunci se spune că seria se converge într-un punct. iar punctul în sine este numit punctul de convergență al seriei. Un set de valori. pentru care converge seria (7.1), se numește domeniul convergenței seriei funcționale.
Denumim domeniul convergenței seriei funcționale prin. De regulă, regiunea nu coincide cu regiunea. și este subsetul său, adică .
Exemplul 3.1. Găsiți domeniul convergenței seriei funcționale
Soluția. Domeniul definiției funcției este.
Această serie este o progresie geometrică cu un numitor. O astfel de serie converge dacă.
Prin urmare, domeniul de convergență a seriilor investigate este un interval. Astfel.
Deoarece fiecare corespunde unui anumit număr - suma unei serii de numere, atunci această corespondență determină funcția. numită suma din seria (3.1) din domeniu. Suma seriei funcționale în domeniul convergenței este definită de
unde este suma parțială a seriei funcționale.
În acest caz, există un reziduu al seriei funcționale. În domeniul convergenței seriei.
Exemplul 3.2. Găsiți domeniul convergenței și suma seriei funcționale
Soluția. Această serie este o serie de progresii geometrice cu un numitor. În consecință, această serie converge pentru. și anume pentru toți. Astfel, domeniul convergenței.
În domeniul convergenței acestei serii funcționale, găsim suma. Prin formula pentru suma progresiei geometrice, obținem
Printre seria funcțională din matematică și aplicațiile sale, un rol deosebit îl joacă seria ale cărei termeni sunt funcții de putere ale argumentului.
Definiția 3.3. O serie de putere este o serie funcțională a formei
unde sunt numere constante, numite coeficienții seriei. este un număr fix.
Pentru o serie de putere a formei
Seria (3.2) poate fi ușor redusă la seria (3.3), dacă punem. Prin urmare, în studiul seriilor de putere, acesta este, uneori, limitat la seriile de putere (3.3).
Să clarificăm problema convergenței seriei de putere (3.3). Domeniul de convergență al acestei serii de putere conține cel puțin un punct (seria (3.2) converge la un punct).
Domeniul convergenței unei serii de putere poate fi judecat din următoarea teoremă.
Teorema 3.1 (teorema lui Abel). Dacă seria de putere (3.3) converge într-un punct. atunci converge absolut pentru toți. satisface inegalitatea
Dovada. Luați în considerare o serie numerică. care converge prin ipoteză. Prin urmare, prin criteriul necesar de convergență. Prin urmare, toți membrii seriei sunt limitați în totalitate, adică există un număr constant constant. că pentru toate, inegalitatea deține.
Scrieți seria (3.3) după cum urmează:
și să elaboreze o serie de termeni absoluți
În virtutea inegalității stabilite, fiecare termen aici este mai mic decât termenul corespunzător al progresiei geometrice cu numitorul:
În cazul în care. atunci progresia se converge, de asemenea. Prin urmare, o serie de valori absolute converge. Aceasta înseamnă că seria (3.3) converge absolut.
În ciuda faptului că. Nu putem folosi imediat semnul de comparație, deoarece condiția din teorema nu spune că seria de la punctul în sine converge absolut.
Corolar. Dacă seriile de putere (3.3) se diferențiază într-un punct. apoi se diferențiază și pentru toți. satisface inegalitatea
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: