Să ne întoarcem la problema numărului de variații; printre toate curbele din apropiere, găsim o funcție pentru care condiția (4.2) este îndeplinită.
Să presupunem că este cunoscută funcția în care este îndeplinită condiția (4.2). Indicați-o. Fie ca începutul și capetele curbelor optime și non-optime să coincidă (a se vedea figura 4.2). Pentru curbe apropiate în sensul primei ordini, curbele diferă numai în panta pantei, adică primele derivate. Apoi pentru o curbă ne-optimă putem scrie asta
unde este un număr mic;
Este o funcție arbitrară netedă care dispare în momentele inițiale și finale ale timpului;
Se numește variația funcției.
În acest sens, funcțional (4.1) poate fi scris în forma:
O condiție necesară pentru optimitatea (extremitatea) unei funcții este aceea că primul derivat cu privire la o variabilă este zero. Găsiți și echivalează cu zero.
Având în vedere acest lucru; expresia (4.3) `poate fi reprezentată în forma:
Luați în considerare al doilea termen.
Utilizăm proprietatea integralelor
Dențiți, atunci. De asemenea, o găsim în (4.4). Pentru aceasta, ne deosebim în timp :. De unde urmează. Pentru că, atunci.
Apoi al doilea termen poate fi scris după cum urmează:
Multiplicatorul este prin ipoteză.
Folosim lemma Lagrange. dacă pentru fiecare funcție continuă u integratul este identic zero pentru toți, atunci fie, fie. Prin condiție, am acceptat asta. Apoi. Având în vedere acest lucru, putem scrie asta
Ecuația rezultată (4.6) este numită ecuația lui Euler.
Apoi ecuația Euler în formă extinsă ia forma:
Astfel, rezolvarea ecuației Euler (o ecuație diferențială de ordinul doi) folosind două condiții limită, se poate găsi controlul optim pentru care. O astfel de funcție este numită extremă.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: