Soluția sistemelor de ecuații diferențiale în MATLAB
Pentru a rezolva sisteme de ecuații diferențiale, există mai multe proceduri încorporate. Luați în considerare aplicarea procedurii ode45. Fiind unul dintre formatele posibile de apel, puteți sugera următoarele: [t, r] = ode45 (@DiffEquationFunction, [Tstart, Tfinish], StartVector). Rețineți că procedura ode45 poate rezolva un sistem de ecuații cu următoarea formă :, unde - este o funcție vectorială.
Să luăm în considerare un exemplu care ilustrează crearea funcției originale DiffEquationFunction pentru a o apela prin procedura ode45. Lăsați un punct de masă să se miște în câmpul gravitațional al punctelor fixe cu mase și (vezi Fig.). Ecuația de forțe în câmpul gravitațional de puncte și va fi după cum urmează :.
După cum vedem, această ecuație diferențială are oa doua ordine. Dar poate fi redus la un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi:
Presupunem că problema dată este "netedă" și introduce următoarea notație: ,,, și. Pornind de la această notație, sistemul de ecuații diferențiale de mișcare a unui punct într-un câmp gravitațional poate fi reprezentat după cum urmează:
Fără a aduce atingere esenței soluției, valoarea constantei gravitaționale se consideră a fi 1 ,,,,
În această formă, sistemul de ecuații poate fi deja scris ca o funcție de fișier, pe care am făcut-o, numind-o trei puncte (t, x).
M1 = 50; M2 = 0; C1x = 5; C1y = 0; C2x = 0; C2y = 10;
Și rezolvăm sistemul de ecuații diferențiale, chemând procedura ode45 din funcția de fișier dynpoint.m.
x1 = 5; y1 = 0; x2 = 0; y2 = 100;
Cu astfel de parametri inițiali (), punctul nostru se mișcă în câmpul unui obiect.
Ceea ce am primit poate fi numit un rezultat acceptabil. Judecând corectitudinea rezultatului din punct de vedere fizic va fi dat fizicilor. Scopul nostru a fost pregatirea corecta a unui sistem de ecuatii diferentiale pentru rezolvarea ei prin procedura ode45. Pe de altă parte, folosind alte proceduri încorporate, puteți obține rezultate diferite la rădăcină.
Să încercăm un mic experiment și să introducem valoarea. Aceasta ar trebui să introducă perturbații în orbita punctului în mișcare.
O cruce și un asterisc din grafic sunt marcate în mod corespunzător și. În plus față de procedura ode45, există un număr de proceduri integrate pentru rezolvarea sistemelor de ecuații diferențiale. Descrierea lor poate fi găsită în cărțile enumerate în lista literaturii. Deoarece soluția sistemelor de ecuații diferențiale este un punct foarte important, nu ne limităm la un exemplu.
Luați în considerare următoarea problemă, din nou din fizică. Luați în considerare traiectoria mișcării glonțului sub acțiunea gravitației. În absența rezistenței la aer, după cum se știe din cursul liceului, va fi o parabolă. Vom considera cazul când forța rezistenței la aer este proporțională cu pătratul vitezei și este opusă sensului de mișcare. După cum spune cursul fizicii în fizică, ecuația echilibrului de forțe va fi după cum urmează:
Având în vedere faptul că accelerația este timpul derivat al vitezei, vom scrie această ecuație în formă vectorică:
Unde este densitatea aerului, masa gloantei și a secțiunii transversale. Să scriem această ecuație în mod coordonat:
În această formă, sistemul de ecuații diferențiale este gata să încerce să o rezolve utilizând procedura ode45. Lasa masa bulletului - 10 grame, diametrul - 1 cm, densitatea aerului - 1 kilogram pe metru cub. Cu aceste date vom compila fisierul airpoint.m.
g = 10; ro = 1; s = 0,0001; m = 0,01; k = ro * s / 2 / m;
Într-un astfel de sistem de ecuații argumentul este viteza și timpul. Dacă vrem să găsim o traiectorie de mișcare, trebuie să luăm în considerare:
Matricele primite de puncte pot fi procesate ulterior. Interpolate, aproximative, etc. Dar integrăm integrarea prin sumare:
În acest caz, timpul inițial este 0, glonul este la origine. Creați o funcție de fișier dynairpoint, în care numim ode45. La momentul inițial, viteza glonțului este orizontală 800, verticală - 100.
Articole similare
-
Cum poate o soluție să rezolve întregul sistem bancar al Rusiei, o altă privire
-
Student în vârstă de 19 ani a creat un sistem de curățare a oceanului din plastic
Trimiteți-le prietenilor: