Prima limită remarcabilă -
lim sinx / x = 1 sau lim x / sinx = 1. Având în vedere faptul că cos0 = 1, avem și lim tgx / x = 1 sau lim x / tgx = 1
a doua limită remarcabilă -
lim (1 + 1 / x) x = e sau lim (1 + x) 1 / x = e
Exemple: a) lim sin4x / x = (0/0) = lim sin4x / 4x * 4 = 1 * 4, deoarece lim sin4x / 4x = 1
b) lim sin6x / sin4x- (0/0) = lim sin6x / 6x * 6x * 4x / sin4x * 1 / 4x = 6/4 = 3/2 deoarece lim sin6x / 6x = 1, lim4x / sin4x = 1
c) lim (1 + 3x) 1 / x = lim (1 + 3x) 1 / 3x * 3 = lim (1 + 3x) 1 / 3x = e
(3x-1 / 3x + 1) 3 x = (1 infinit) = lim (3x + 1) -2 / 3x + 1) 3 x = lim (1 + 9-2) / 3x + 1) 3 x + 1/2 -2/3 x +1 * 3 = e lim -6 x / 3 x +1 = e -2
prima limită de funcții remarcabilă
Exemplu: lim sin 6x / x = lim 6 * sin6x / 6x = 6 * 1 = 6 (deoarece sin6x / 6x = 1)
a doua limită de funcție remarcabilă:
Exemplu: lim (1 + 5x) 7 / x = (1, infinit) = (1 + 5x / 1) 7 / X = (1 + 5x / 1) 1 / 5x * 5x / 1 * 7 / x = e 35 ( pentru că (1 + 5x / 1) 1 / 5х = е)
4 Continuitatea unei funcții într-un punct și într-un interval. Punctele de rupere a funcțiilor și clasificarea acestora.
Continuitatea unei funcții la un punct
1) Funcția y = f (x) se numește continuă la punctul x0. dacă sunt îndeplinite următoarele trei condiții: 1) funcția este definită la punctul x0 și vecinătatea ei. 2) există o limită finită a funcției la punctul x0. 3) această limită este egală cu valoarea funcției la punctul x0. și anume lim f (x) = f (x0)
2) Funcția y = f (x) se spune că este continuă la punctul x0. dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: 1) funcția este definită la punctul x0 și vecinătatea ei. 2) există limite finite unilaterale lim f (x) = f (x0 -0) și lim f (x) = f (x0 + 0). 3) aceste limite sunt egale între ele și sunt egale cu valoarea funcției la punctul x0. și anume lim x (x) -lim f (x) = f (x0)
3) Funcția y = f (x) se spune a fi continuă la punctul x0. dacă următoarele trei condiții: 1) funcția definită la punctul xo și okrestnosti.2) increment sale infinitezimal argumentului corespunde unei funcții de creștere infinitezimal: lim y = lim (f (x0 + x) -f (x0)) = 0
Dacă funcțiile f (x) și g (x) sunt continue în punctul x0. atunci funcția f (x) + -g (x), c * f (x) (c -constanta), f (x) x0) nu este zero) este, de asemenea, continuă la punctul x0
Dacă funcția u = q (x) este continuă la x0. și funcția y = f (u) este continuă în punctul u0 = q (x0), atunci funcția complexă y = f (q (x)) este continuă în punctul x0
Continuitatea unei funcții pe un segment
Funcția y = f (x) se spune că este continuă pe [a, b]. dacă este continuă în fiecare punct al acestui segment (este continuă în punctul a, adică lim f (x) = f (a) și la punctul b este lăsată continuă, adică lim f (x) = f (b ))
Proprietățile funcțiilor care sunt continue într-un interval:
1. dacă funcția y = f (x) este continuă pe intervalul [a, b], atunci este limitată pe acest interval (prima teorema Weierstrass)
2. dacă funcția y = f (x) este continuă pe intervalul [a, b], atunci pe acest segment ajunge la cea mai mică valoare m și cea mai mare valoare a lui M (a doua teoremă Weierstrass)
3. în cazul în care funcția y = f (x) este continua pe intervalul [a, b] și la capetele sale ia valori de semne opuse în segmentul are cel puțin un punct, astfel încât funcția de 0 (teorema lui Cauchy Bolzano)
Punctele de discontinuitate a unei funcții și clasificarea acestora: punctele în care nu este îndeplinită condiția de continuitate se numesc punctele de discontinuitate a acestei funcții. Dacă x0 este punctul discontinuității funcției y = f (x), atunci cel puțin una din cele trei condiții pentru continuitatea funcției nu se află în ea.
Clasificare: 1) punctul x0 se numește punctul discontinuității primului tip al funcției y = f (x). dacă există limite finite f (x0 -0) și f (x0 +0) în acest punct, dar ele nu sunt egale una cu cealaltă f (x0 -0) nu = f (x0 +0). Cantitatea | f (x0 + 0) -f (x0 -0) | se numește saltul funcției y = f (x) la punctul x0.
2) Un punct x0 este un punct de discontinuitate de unică f y = (x), în cazul în care, în acest moment există limite finite f (x0 -0) și f (x0 +0), sunt egale una de alta: f (x0 -0) = f (x0 +0), dar funcția y = f (x) nu este definit la x0 sau determinat dar f (x0 -0) = f (x0 +0) nu = f (x0)
3) Un x0 punct este numit al doilea punct ordinea de discontinuitate a funcției y = f (x) la acel moment, dacă cel puțin una dintre limite unilaterale (f (x0 -0) nu = f (x0 +0)) nu există sau este infinit.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: