Transformarea liniara se numește diagonalizable dacă există o bază în care matricea de transformare liniară este diagonală. Rețineți această bază, în care matricea de transformare liniară este diagonală, este formată din vectorii proprii. Converse este, de asemenea, adevărat. Într-o bază a vectorilor proprii, matricea transformării liniare are o formă diagonală. Nu orice transformare liniară este diagonalizabilă. De exemplu, o transformare liniară dată de o matrice nu este diagonalizabilă.
TEOREM 7.3. Vectorii proprii care corespund diferitelor valori proprii sunt independenți liniar.
Dovada. Fie un sistem liniar independent de vectori proprii corespunzând unei valori proprii, unde i = 1, ..., s. Se arată independența liniară a sistemului de vectori prin inducție pe s. Pentru s = 1 afirmația este evidentă. Să presupunem că este adevărat pentru s -1. Să ne arătăm valabilitatea pentru s. Să presupunem că sistemul este dependent de liniar. Apoi, există coeficienți care nu sunt egali cu zero astfel încât. Din această egalitate deducem sau. Prin ipoteza de inducție, toți coeficienții din această egalitate sunt 0, și astfel pentru i Considerăm problema numărului de vectori proprii liniar independenți care corespund unei valori proprii. multiplicitate geometrică a soluŃiei se numește transformarea defectului și multiplicitatea algebrică se numește multiplicitatea rădăcinii în polinomul caracteristic. TEOREM 7.4. Multiplicitatea geometrică nu depășește multiplicitatea algebrică. Dovada. Fie multiplicitatea geometrică egală cu k. Completăm baza nucleului transformării la baza întregului spațiu. Matricea unei transformări liniare pe această bază are forma și polinomul caracteristic este egal cu. Astfel, multiplicitatea algebrică nu este mai mică decât multiplicitatea geometrică, după cum este necesar. Teorema 7.5 Transformarea liniara spatiu vectorial V peste un câmp numeric P diagonalizable dacă și numai dacă polinomul caracteristic este extins peste un câmp P pentru factorii liniari și multiplicitatea algebrică fiecare rădăcină coincide cu multiplicitatea geometrică.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: