Recent, matematicienii de la Universitatea Washington din Bothell au reușit să descopere un nou tip de parchet pentagonal. A devenit al cincisprezecelea, cunoscut în acest moment. Sugerăm cititorului să înțeleagă ce fel de parchet este acesta și care sunt proprietățile sale remarcabile.
Începem, de fapt, cu conceptul de parchet, care se mai numește și pavaj. Un parchet este o împărțire a unui avion în poligoane, astfel încât oricare două figuri se intersectează fie de-a lungul întregii părți, fie la vârf, sau nu se intersectează deloc. Desigur, există o mulțime de astfel de împărțiri, dar vom fi interesați doar de parchete destul de simetrice.
Cel mai simplu tip de parchet, numit platonic, este un parchet de n-goni obișnuiți, adică poligoane, în care toate unghiurile și toate laturile sunt egale.
În total, există trei astfel de parchete: planul poate fi ciupit numai de triunghiuri regulate, patrulape (sunt pătrate) și hexagoane. Dovedind acest lucru este destul de ușor. Suma unghiurilor poligonului este considerată de formula 180 (n - 2). Corespunzător, în acest caz unghiul n-gonului obișnuit este de 180 (n-2) / n. În fiecare vârf al unui parchet, întregul număr de colțuri (de exemplu, k bucăți) converge și suma lor trebuie să fie egală cu 360 de grade. Obținem următoarea identitate pentru acești doi întregi: k (n - 2) = 2n. Este ușor să demonstrăm printr-o căutare că această egalitate este rezolvabilă numai pentru n = 3, 4 și 6.
Amuzant, că, dacă respingem termenii unui poligon regulat, și, de exemplu, ia în considerare parchet, compus din numai poligoane convexe (de exemplu, poligoane, toate ale căror unghiuri sunt mai puțin de 180 de grade), devine clar faptul că părțile la astfel de poligoane încă nu pot fi mai mult șase. Acest lucru este dovedit, totuși, oarecum mai complicat. Dacă abandonăm condiția de convexitate, atunci heptagonul poate aplatiza complet avionul.
Imagine: Wikimedia Commons
În ceea ce privește poligoanele permise pentru parchet, putem spune despre ele aici. Este posibil să realizați un plan cu orice triunghi - este suficient să compuneți o copie paralelogramă transformată din ea. Este de asemenea potrivit și un quadrilateral arbitrar pentru rolul parchetului.
Cu hexagoane totul este mai curios. De exemplu, puteți lua un platonic de pavaj și începeți să îl întindeți pe una din direcții. Ca rezultat, veți obține un parchet de hexagoane neregulate. Se pare însă că o asemenea întindere (ca unele transformări mai dificile) păstrează un set fix de proprietăți.
Pentru a le descrie, denota unghiurile hexagonului ca A, B, C, D, E, F, și ambele părți ale a, b, c, d, e, f. În acest caz, presupunem că partea a este adiacentă la unghiul A din dreapta și toate laturile și unghiurile sunt numite în sensul acelor de ceasornic. În anii '60 ai secolului trecut s-a dovedit teorema remarcabila: Hexagon gresie planul dacă și numai în cazul în care aparține uneia sau mai multora dintre cele trei clase (clase sunt străbătute aici, de exemplu, un hexagon regulat aparține tuturor trei):
- A + B + C = 360
- A + B + D = 360, a = d, c = e
- A = C = E = 120, a = b, c = d, e = f.
Cu toate acestea, cel mai dificil caz de parchet pe plan este un parchet pentagonal. În 1918, Karl Reinhardt a descris cinci clase de astfel de parchet. Ca și în cazul hexagonilor, acestea sunt familii întregi de pentagoane, date de un anumit set de egalități pe laturi și unghiuri. Cel mai simplu dintre ele, poate, este A + B = 180 (presupunem că unghiurile pentagonului sunt notate cu A, B, C, D, E). Verificați dacă astfel de pentagone poate fi pavat plat, lăsați ca un exercițiu pentru cititori.
De mult timp această listă a fost considerată completă, până în 1968, când Robert Kershner a descoperit brusc trei astfel de clase. În 1975, matematicianul Richard James a crescut acest număr la nouă. Aici în istorie începe cel mai interesant - despre deschiderea lui James a scris revista Scientific American. Articolul a fost văzut de Marge Rice, o gospodină americană și un matematician amator cu jumătate de normă. După ce și-a dezvoltat propriul sistem de înregistrare pentru pavarea pentagonală, a adus numărul la 14 din 10 ani.
Imagine: Wikimedia Commons
Apoi, în cele din urmă, după 30 de ani, oamenii de știință de la Universitatea Washington din Bothell au deschis cel de-al 15-lea pavaj. Au făcut acest lucru cu ajutorul unui calculator: la această universitate, un proiect privind studiul numeric al pavajelor cu participarea studenților a fost realizat de mai mulți ani. Unul dintre membrii trupei, Casey Mann, admite că acest lucru a fost făcut cu o căutare destul de mare. Adică, nu există progrese serioase în spatele acestei descoperiri.
Pavelele cu o singură placă convexă - nu singurele și, probabil, cele mai curioase. Dacă permiteți utilizarea mai multor plăci în parchet, proprietățile plăcilor vor fi mai interesante. Dacă toate aceste plăci sunt poligoane regulate, atunci pentru un set infinit de plăci, există un număr infinit de astfel de cuiburi.
Pentru a obține ceva interesant, puteți încerca să restrângeți clasa de parchet. O asemenea restricție este bine cunoscută și se numește placă omogenă. Un parchet este numit omogen, în care orice vârf al parchetului poate fi transformat în oricare altul printr-o transformare adecvată a planului (prin rotație și schimbare, adică). Într-un fel, într-un astfel de parchet toate vârfurile sunt egale, iar dispozitivul global al unui parchet este o consecință a structurii sale locale.
Rețineți că înclinările platonice menționate anterior sunt omogene. Deci, în plus față de aceste trei, există opt înclinări omogene, constând din poligoane regulate. Ele sunt numite, de asemenea, tilings arhimedean.
Imagine: Wikimedia Commons
În cele din urmă, clasa cea mai exotică este pavaj neperiodic și aperiodic. Destul de ciudat, acești doi termeni înseamnă diferite clase de obiecte matematice. În primul caz, partiția în cauză nu trebuie să aibă o simetrie translațională. Aceasta înseamnă că partiționarea este atât de dificilă încât nu există nici un vector, trecerea la care ar traduce această împărțire în sine.
Dăm două astfel de exemple non-periodice. Primul parchet este tigla sfinxului. Un sfinx este un pentagon ne-convex, care este obținut din șase triunghiuri regulate. Lucrul este acela al celor patru sfinxe identice, puteți lipi împreună sfinxul, care va fi similar (în sensul triunghiurilor similare) cu cel original. Dacă repetăm acest proces (așa cum se arată în acest hifa), se poate construi o placare auto-similară a unui plan.
Un alt exemplu de parchet neperiodic este placa Foderberg. Se compune din n-triunghiuri neconvexe. Zamoschenie pornește de la un poligon, apoi în jurul celor două vârfuri poligoanele congruente sunt așezate printr-o spirală. De-a lungul timpului, ramurile spiralei sunt necurățate și se obține o placă neperiodică.
Ambele exemple se referă la faptul că în ambele cazuri, placarea periodică poate fi făcută din același set de plăci (aceasta este sugerată a fi verificată de către cititor ca sarcină). Tigla aperiodică se numește parchet, realizat cu un astfel de set de plăci, dintre care nu se poate adăuga nici o placare periodică. Cel mai probabil, faimos, pavaj aperiodic este mozaicul Penrose compus din două plăci.
Există un pavaj aperiodic al unei plăci - această problemă este încă deschisă. Singurul lucru, așa cum sa menționat mai sus, dacă există astfel de tiluri, ele trebuie să fie pentagonale.
Imagine: Wikimedia Commons
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: