Să ne gândim cum se schimbă poziția proiecțiilor unui punct în timp ce se rotește pe o axă perpendiculară pe planul II (Figura 10.10).
Pe măsură ce punctul M se rotește în jurul axei i ^ n1 (centrul de rotație O, raza de rotație OM ^ i) cu un unghi a. proiecția orizontală M1 se deplasează de-a lungul unui cerc (centrat în punctul O1 @ i1) cu aceeași rază, în aceeași direcție și în același unghi a. că punctul M. însuși. Traiectoria mișcării punctului M în spațiu pe planul P1 este proiectată fără distorsiuni, deoarece aparține avionului # 931; paralel cu P1. Proiecția frontală a punctului M (M2) se deplasează de-a lungul unei linii drepte paralele cu axa OX.
Rotația figurilor geometrice se reduce la rotirea unui număr finit de puncte care definesc această cifră. Este util să rețineți următoarele:
a) punctele situate pe axa de rotație nu își schimbă poziția, punctele rămase se rotesc în planuri perpendiculare pe axa de rotație;
b) toate punctele de rotație se rotesc într-o direcție la același unghi;
c) dacă axa este perpendiculară pe un anumit plan de proiecții, atunci proiecțiile pe acest plan al figurului rotativ în oricare dintre pozițiile sale sunt congruente. Aceasta din urmă rezultă din proprietățile metodei deplasării plane-paralele considerate mai sus, deoarece Rotația în jurul axelor perpendiculare pe planurile proeminențelor este un caz special al acestei metode.
Să ne gândim cum se deplasează diagrama segmentului de poziție generală într-o anumită poziție prin rotirea în jurul axei perpendiculare pe planurile proeminențelor.
Exemplul 1. Segmentul AB al poziției generale este transformat într-o poziție paralelă cu planul proeminențelor P2.
Pentru a efectua o astfel de transformare, este suficient să rotim segmentul AB în jurul axei i ^ n1 cu un unghi a. Pentru a reduce numărul de construcții geometrice, i # 8715; B (Figura 10.11).
Valoarea unghiului a este luată astfel încât după rotire proiecția orizontală a segmentului să ia poziția || Oh. Deoarece punctul B aparține axei de rotație, nu își va schimba poziția în timpul transformării, prin urmare, B1, B1 și B2 B2 B2. Pentru a găsi punctul A2 /, este necesar să trasați o linie verticală de comunicare de la A1 și notați punctul de intersecție al acesteia în linia orizontală trasată prin A2.
Rotația în jurul liniilor de nivel este folosită în acele cazuri în care această figura plat trebuie combinată cu orice plan paralel cu planul proiecțiilor. În această poziție, figura plată este proiectată pe planul de proiecție corespunzător fără distorsiuni.
În Fig. 10.12 arată rotația unui punct A în jurul axei orizontale h || P1. În acest caz, planul de rotație al punctului A (planul în care se află traiectoria mișcării punctului A este un cerc) va fi planul # 931; perpendicular pe axa de rotație (# 931; ^ h) și, în consecință, pe planul orizontal al proeminențelor # 931; ^ П1.
Punctul A se va deplasa în jurul cercului cu centrul în punctul C (punctul de intersecție al axei de rotație cu planul # 931; ). C = h ∩ # 931; Raza acestui cerc este egală cu distanța de la punctul A la axa de rotație h (R = AC).
avion # 931; - proiecție orizontală (# 931; ^ П1), prin urmare, traiectoria punctului A în spațiu (cerc) este proiectată pe planul P1 într-o linie dreaptă care coincide cu traiectoria orizontală a planului # 931; (# 931; P1).
Când punctul A se rotește în jurul axei h. coincide cu un plan paralel cu planul proeminențelor P1. raza de rotație a acestui punct R = CA are o poziție orizontală și este proiectată pe P1 fără distorsiune: C1 A1 = CA = R.
Planul de rezolvare a problemei este următorul:
1. Prin proiecția orizontală A1 a punctului A tragem o urmă orizontală a planului # 931; (# 931; 1 ^ h1) și notați centrul de rotație C (C1 C2).
2. Determinați valoarea naturală a razei de rotație Rvr. = A0 C1 (ca hypotenuse a unui triunghi drept al cărui picioare sunt proiecția orizontală a razei de rotație A1 C1 și diferența în coordonatele Z ale punctelor A și C. # 8710; Z = ZA-ZC). Hipotensiunea unui triunghi # 8710; C1 A1 A0. C1 A0 = Rin. .
Nou, după întoarcere, poziția punctului A1 / este localizată la intersecția arcului cercului tras de la proiecția orizontală a centrului de rotație C1 cu o rază egală cu C1 A0, cu o urmă orizontală # 931; 1 avion # 931;
În Fig. 10.13 prezintă un exemplu de rotație a triunghiului ABC în jurul lui AD orizontal (AD ÌABC. AD II1). Punctele D și A nu își schimbă poziția în timpul rotirii triunghiului (A1 ºA1 / .D1 ºD1 /), deoarece ele aparțin axei de rotație h (D Îh. A Îh), iar proiecțiile orizontale ale punctelor B și C se deplasează de-a lungul liniilor perpendiculare pe h1 (B1 B1 / h1 și C1 C1 / ^ h1). Poziția punctului B1 / după rotația triunghiului este determinată în modul descris mai sus (O1 B1 / = O1 B0 = Rav.). Ca urmare a rotirii, triunghiul ABC a luat pozitia A1 / B1 / C1 /, paralel cu planul P1. și proiectate pe acest plan fără distorsiuni: çA1 / B1 / C1 / ç= çABC ç. Proiecția frontală a triunghiului după întoarcerea lui A2 / B2 / C2 / este o linie dreaptă paralelă cu axa de coordonate.
Planul tangent la suprafețe
Concepte generale. Metode de construcție a planurilor tangente.
Tipuri de probleme de bază în construcția tangentelor.
Un plan tangent la o suprafață curbată la un punct obișnuit A este un plan definit de două linii intersectate tangente la această suprafață la punctul A (Figura 11.1).
Punctele ordinare ale suprafeței sunt punctele în care poate fi construit un singur plan tangent la suprafață. Punctele speciale ale suprafeței sunt cele în care nu poate fi construit decât un singur plan tangent. Exemple de puncte singulare ale unei suprafețe sunt vârful conului, punctul de margine de întoarcere și așa mai departe. planul tangent în care poate fi unic nedefinit, adică pot fi desenate mai multe planuri.
Avioanele tangente sunt utilizate pentru a construi linii de intersecție a suprafețelor, pentru a construi schițe de suprafețe, pentru a-și construi propriile umbre de suprafață, pentru a construi suprafața normală și așa mai departe.
Pentru a trage o linie tangentă la suprafață într-un anumit punct al acesteia, este suficientă trasarea oricărei curbe pe suprafață prin acest punct și construirea unei linii tangente la ea. Deoarece printr-un singur punct al suprafeței se poate desena un set de linii curbe, apoi la un punct al suprafeței se poate desena un set de linii tangente.
Toate aceste tangente se vor afla într-un plan, care este planul tangent la suprafață.
Astfel, planul tangent la suprafață este locul geometric al liniilor tangente la o suprafață dată la un punct obișnuit.
Pentru a defini planul tangent, este suficient să se construiască două linii tangente la suprafață.
O tangentă la o suprafață este o linie tangentă la o linie care aparține acestei suprafețe.
Ca linii de suprafață, liniile determinantului sau liniile sale sunt de obicei utilizate, care pot fi ușor construite grafic. De exemplu, în apropierea suprafețelor de revoluție, acestea sunt paralele și meridiane, în timp ce suprafața condusă are generatoarele rectilinii.
Planul tangent poate avea doar un punct comun cu suprafața. În acest caz, toate liniile suprafeței care se intersectează la punctul considerat sunt pe o parte a planului tangent. Astfel de puncte ale suprafeței sunt numite eliptice. Suprafetele în care toate punctele sunt eliptice sunt suprafețele curviinare convexe. Acestea includ sfera, elipsoidul de rotație, paraboloidul de rotație, torusul închis și așa mai departe.
Planul tangent poate avea o linie comună cu suprafața (o linie dreaptă sau o curbă). De exemplu, planul tangent atinge suprafețele trunchiului de-a lungul generatorului lor - o linie dreaptă. Este planul tangent pentru toate punctele sale situate pe această linie. Punctele de suprafață care satisfac această condiție sunt numite parabolice. Acestea includ punctele de suprafețe rectilinie dispuse - conice, cilindrice și cu o nervură de întoarcere.
Planul tangent la suprafață într-un anumit punct poate intersecta suprafața la care este trasată. În intersecție, pot fi obținute două linii drepte intersectate, două curbe sau o linie dreaptă și o linie curbă.
Punctele de suprafață tangente la planul care intersectează suprafața sunt numite hiperbolice. Astfel de puncte de contact se află pe suprafața interioară a unui torus deschis.
Următoarele cazuri de bază de construcție a planelor tangente la suprafețe sunt posibile:
1. printr-un punct pe suprafața în sine
2. printr-un punct situat în afara suprafeței
3. paralel cu linia dreaptă dată
4. paralel cu planul dat
5. printr-o linie dreaptă situată în afara suprafeței
Construcția planului tangent poate fi realizată în mai multe moduri:
1) prin construirea a două linii tangente la două linii curbe ale suprafeței (de obicei pentru punctele eliptice de tangență)
2) prin construirea unei urme tangente a planului la aceeași linie a suprafeței
3) prin construirea secțiunilor auxiliare ale suprafeței cu realizarea ulterioară a liniilor tangente ale unei anumite direcții
Ultimele două metode sunt folosite de obicei pentru puncte hiperbolice și parabolice de tangență.
Să luăm în considerare exemple de rezolvare a problemelor din diferite cazuri.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: