Valorile proprii și vectorii proprii ai unui operator liniar. regulă
Definiția. x → ≠ 0 →. A x → = λ x →> \ nu =>: A> = \ lambda >>. unde x este un anumit număr, numit eigenvector al operatorului A, și λ este o valoare proprie.
A x → = λ x →. A x → = μ x → ⇒ 0 → = (λ - μ) x → ⇒ λ = μ> = \ lambda>, A> = \ mu> \ rightarrow> = (\ lambda - \ mu)> \ rightarrow \ lambda = \ mu> - pentru fiecare eigenvector corespunde o valoare proprie unică.
F A (λ) = d e t (A e - λ E) - \ lambda E \ right)> este polinomul caracteristic al operatorului A.
Starea vectorilor proprii: F A (λ) = 0 - Har-e-ur e (Λ 1. ... λ n, \ puncte, \ lambda _> - rădăcini ur substitut I și pentru a găsi propriile lor vectori.).
Teorema privind independența unui polinom caracteristic în alegerea bazei. \\ d e t (A e - λ E) = d e t (A f - λ E) - \ lambda E \ dreapta) = det \ stânga (A _- \ lambda E \ dreapta)>
det (A f - λ E) = det (T - 1 A e T - λ E) = det (T - 1 A e T - T - 1 (λ E) T) = det (T - 1) det (A e - λ E) det (T) = det (A e - λ E). - \ lambda E \ dreapta) = det \ left (T ^ A_T- \ lambda E \ dreapta) = det \ left (T ^ A_T-T ^ (\ lambda E) T \ dreapta) = det (T ^) det ( A_- \ lambda E) det (T) = det (A_- \ lambda E)>
Proprietățile vectorilor proprii Editați
- x → >> este un vector propriu al operatorului A. După ce îl înmulțim cu orice număr nu egal cu zero, obținem din nou un eigenvector.
- dacă x → 1> _> și x → 2> _> sunt doi vectori proprii care corespund valorii proprii λ. atunci oricare dintre combinațiile lor liniare αx → 1 + β x → 2 ≠ 0 → + +> β> _ \ nu = >> - va fi din nou un eigenvector.
- dacă λ 1. .... λ k, \ dots, \ lambda _> sunt rădăcini caracteristice și λ i ≠ λ j \ nu = \ lambda _> pentru i ≠ j. fiecare necesită propriul lambda vector 1 → x → 1. λ 2 → x → 2. ... \ rightarrow> _, \ lambda _ \ rightarrow> _, \ dots>. apoi sistemul x → 1. ... x → k> _, \ dots,> _> este independentă liniar.
pentru k = 1 - este adevărat, pentru că vectorul propriu nu poate fi zero.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: