§ 1.11. Set de calculatoare. Numărătoarea mulțimii de numere raționale. Uncountableness a setului de numere reale
Deasupra am definit noțiunea de egalitate de seturi. Pentru a caracteriza gradul de saturare a seturilor infinite de elemente, conceptul de echivalență a seturilor este convenabil. Se spune că un set este infinit dacă există mai multe elemente în set. Două seturi sunt numite echivalente și scriu dacă se poate stabili o corespondență unu-la-unu între elementele lor, adică există o astfel de regulă, legea conform căreia corespunde un element destul de clar. În acest caz, în virtutea acestei reguli, două elemente diferite corespund la două elemente diferite și fiecare element corespunde unui element.
De exemplu, dacă - setul de puncte pe un cerc de rază, - setul de puncte pe un cerc concentric de rază, atunci este evident că (figura 6).
Evident, dacă, atunci.
Dacă, atunci setul se numește numărare. Firește, însăși setul de numere naturale este numărare (corespondența este stabilită conform schemei). Setul tuturor numerelor naturale chiar este echivalent cu întregul set, iar corespondența este stabilită conform schemei. Rețineți că aici ,. Astfel, adevăratul subset (parte) a setului sa dovedit a fi echivalent cu întregul set. Această proprietate este inerentă numai în seturi infinite (poate fi luată ca definiție a unui set infinit).
Din definiția numărului de numărare a unui set reiese că elementele sale pot fi renumerotate prin numere naturale, deci scriem adesea un set numărare ca o secvență a elementelor sale:
Sumă sumativă (set-teoretică).
comenzile (sau seturile finite) reprezintă un set numărare. De fapt, vom scrie elementele sub forma unui tabel:
Redenumiți-le în următoarea ordine:
Cu toate acestea, în fiecare etapă a numerotării, ele aruncă acele elemente care au fost deja numerotate în etapa anterioară: la urma urmei, se poate întâmpla ca ele să aibă elemente comune. Ca rezultat, obținem o succesiune infinită de elemente, evident, epuizând setul. Acest lucru dovedește că este un set numeric.
În mod similar, se dovedește că o sumă finită de seturi numărabile sau finite, dintre care există cel puțin o numărare, este numărabilă.
Teorema 1. Setul tuturor numerelor raționale este numărare.
Dovada. Considerăm mai întâi numerele raționale pozitive. Numim un număr natural înălțimea unui număr rațional. Fie ca setul de numere raționale cu o înălțime egală cu. Seturile constau, de exemplu, dintr-un număr finit de elemente (numere raționale)
Este ușor de văzut că,
Redenumiți numerele scrise în bretele de la stânga la dreapta, emise, totuși, la fiecare etapă de numerotare acele cifre care au fost deja numerotate într-o etapă anterioară. Ca rezultat, obținem secvența
Deoarece există nenumărate numere pozitive raționale, folosim toate numerele naturale. Prin urmare, în mod contradictoriu. Mai mult, este evident că este numărare. Prin urmare, întregul set de numere raționale este, de asemenea, numărare.
Teorema 2. Setul tuturor numerelor reale este nesemnificativ.
Dovada. Pentru dovada este suficient să se stabilească faptul că setul de numere reale ale intervalului formează un set nesemnificativ. Să presupunem că intervalul este un set numeric, adică toate punctele sale pot fi renumerotate:
Dar această ipoteză este contradictorie. De fapt, construim un număr real, unde numerele sunt alese astfel încât și. Este clar însă că nu coincide cu niciunul dintre numere, deoarece altfel ar trebui să fie, ceea ce nu are loc.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: