Am pus numerele întregi după cum urmează: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, .... n, -n, ...
Apoi fiecare număr poate fi asociat cu un număr natural
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, .... n, -n, ...
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .... 2n-1, 2n, ...
Astfel, se dovedește că mulțimea Z este echivalentă cu mulțimea N și, prin urmare, este numărabilă.
Pentru a dovedi o enumerare eficientă a Z este necesar să se stabilească faptul că toate elementele Z pot fi enumerate de algoritmul și ar trebui să primească, ca urmare a numerelor de secvență de sortare, fără goluri și repetiții. Mai târziu, pentru unele cazuri, clauza „fără omisiuni și repetiții“ va fi perceput, dar rămâne un fapt important al transferului de algoritm, și anume, în mod regulat.
Numărătoarea mulțimii de numere raționale
Definiți un număr rațional ca q = n / m, unde n și m sunt numere întregi, unde m nu este 0.
Luați în considerare primul număr rațional pozitiv și le voi scrie în forma unei matrice fără sfârșit ale cărei rânduri și coloane sunt numerotate cu numere naturale începând cu 1. Elementul la intersecția i-lea rând și j-a coloană primește qij nume
Folosind metoda diagonală, le numărăm (numerotate prin numere naturale):
1 2 3 4 5 6 7 8 9
astfel fiecare număr rațional va primi numărul corespunzător, ceea ce înseamnă contabilitatea setului de numere raționale. Faptul că setul Z este enumerabil în mod efectiv rezultă direct din metoda de numerotare de mai sus prin numere naturale.
Exemple de seturi nesemnificative:
Setul de numere reale.
Setul tuturor mapărilor și numerelor întregi este un număr întreg.
Setul tuturor subseturilor setului de pozitive
(3) O secvență numerică. Secvențe infinit de mici și infinit de mari, legătura dintre ele. Baze de teoreme pe secvențe infinitezimale. Scara este infinite. -simvolika.
Luați în considerare o serie de numere naturale: 1, 2, 3, .... n-1, n, ....
Dacă înlocuim fiecare număr natural n din această serie cu un număr unu. după o anumită lege, obținem o nouă serie de numere:
și a numit o secvență numerică. Valoarea lui un se numește termenul general al secvenței. De obicei, secvența numerică este dată de o formulă un = f (n), care permite găsirea oricărui membru al secvenței prin numărul său n; această formulă se numește formula generală a termenului. Rețineți că nu este întotdeauna posibilă specificarea unei secvențe numerice prin formula termenului general; Uneori, o secvență este specificată prin descrierea membrilor săi
Un instrument convenabil în studiul tranzițiilor limită este conceptul unei secvențe infinitezimale. secvență
1. Suma și diferența dintre secvențele infinitezimale
2. Secvența este mărginită.
3. Produsul unei secvențe infinitezimale cu o secvență mărginită este o secvență infinitezimală.
4. Pentru ca secvența
(4) Secvențe convergente. Limita de secvență, semnificație geometrică. Baze de teoreme asupra secvențelor convergente. Limitați tranziția în inegalități. Secvențe numerice limitate. Limitele superioare și inferioare ale unei secvențe numerice. Exact limitele superioare și inferioare ale unei secvențe numerice. Secvențe monotone. Teorema privind convergența unei secvențe monotone delimitate. Convergența secvenței pentru.
Dacă există o limită finită. atunci secvența se numește convergentă.
Numărul a este numit limita unei secvențe dacă pentru fiecare # 949;> 0 există un număr N # 949; pentru toți n ≥ N # 949; inegalitatea | xn - a | <ε,
adică ei scriu fie ca n → ∞. Pe scurt, această definiție poate fi scrisă ca:
Intervalul (a - # 949 ;; a + # 949;) este numit # 949; - ciclul punctului a. # 949; - ciclul punctului a. Pur și simplu, numărul a se numește limita unei secvențe. dacă există - vecinii unei minciuni, toți termenii secvenței, cu posibila excepție a unui număr finit dintre ei. Prin urmare, este ușor de văzut că o modificare a numărului finit de termeni din secvență nu afectează existența limitei, nici amploarea acesteia din urmă.
Teorema lui Weierstrass. Dacă secvența este monotonă și limitată, atunci are o limită.
Dovada următoarelor:
Pentru claritate lăsați-o să crească și să se limiteze mai sus. Fixați-l. și deoarece este limitat, atunci și. Apoi, având în vedere monotonicitatea secvenței date, având în vedere (1.2.1).
Prin urmare. ceea ce înseamnă.
În mod similar, teorema este dovedită pentru cazul în care - este descrescătoare și mărginită mai jos.
Pentru ca o secvență să crească în mod monotonic (descrescător) să converge, este necesar și suficient ca aceasta să fie delimitată de sus (de jos). Acest lucru rezultă din afirmația că dacă o secvență are o limită, atunci ea este mărginită. și din teorema lui Weierstrass.
TEOREM 2.2. Dacă secvența are o limită, atunci este limitată.
Dovada: Să. Să fie cea mai mare dintre numere. și anume . Prin definiție, este limitat.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: