Luați în considerare setul de molecule din atmosfera pământului. Acest set conține un număr foarte mare de elemente (aproximativ 1.02 77 010 541 0), dar este finit, adică există o constantă care este mai mare decât numărul elementelor din acest set. În plus față de finite există seturi infinite. Una dintre problemele teoriei seturilor este determinarea numărului de elemente dintr-un set și studierea problemei comparării a două seturi cu numărul elementelor.
Pentru seturi finite de natură foarte diferită, această problemă poate fi rezolvată cu ușurință prin calcul direct. Pentru seturi infinite, problema comparării nu poate fi rezolvată ca și pentru cele finite, prin numărare. Prin urmare, Cantor a propus o mapare unu-la-unu (bijectiv) între două seturi infinite pentru comparație. Să luăm în considerare exemple de stabilire a unei astfel de cartografiere.
Exemplul 1. Pentru un set A considerăm intervalul pe o linie reală, lăsăm A = (-1, 1) și pentru mulțimea B setul de numere reale R. Acestea sunt seturi de aceeași caritate, deoarece cartarea f (x) = tg (px / 2), xÎA vă permite să stabiliți corespondența unu-la-unu între ele.
Exemplul 2. Fie A = [-1,1], B = (-1,1). Construim harta f. A ® B prin următoarea regulă: selectați în secvența A, 1, 1/2, 1/3, 1/4. 1 / n și puneți f (-1) = 1/2, f (1) = 1/3, f (1/2) = 1/4, f (1/3) = 1/5, adică f (1 / n) = 1 / (n + 2) și toate punctele care nu sunt în această secvență sunt cartografiate în ele însele, adică f (x) = x. În consecință, intervalele deschise și închise sunt echivalente.
Puterea unui set este o generalizare a conceptului numărului de elemente dintr-un set Dacă se stabilește o cartografiere unu-la-unu a mulțimilor, atunci prin definiție, în ambele seturi, același număr de elemente sau puterea unui set este egal cu puterea celuilalt set.
Putere - este ceva în comun că există două seturi echivalente. Cardinalitatea lui A este notată cu m (A) sau | A |. Astfel, m (A) = m (B) dacă A
Dacă mulțimea A este echivalentă cu un anumit subset al setului B, atunci cardinitatea A nu este mai mare decât cardinalitatea B (adică m (A) £ m (B)). Dacă, în plus, setul B nu este echivalent cu niciun subset al setului A, atunci m (A) Cel mai simplu dintre seturile infinite este setul de numere naturale N. Determinare. Noi numim fiecare set echivalent cu setul N. Cu alte cuvinte, fiecare set este numit numărare, ale cărui elemente pot fi renumerotate sau alcătuite dintr-o succesiune infinită a acestora. Exemple de seturi numărabile. 1. Setul de întregi Z = Construiește din elementele sale o secvență: a1 = 0; a2 = -1; a3 = 1; a4 = -2; a5 = 2; Formula pentru calcularea termenului său general poate fi scrisă în formular 2. Setul Q al tuturor numerelor raționale. Să arătăm că eram mulțumit de acest set. După cum se știe, numerele raționale sunt fracții ale formei p / q, unde pÎZ. qÎN. Le scriem sub forma unei mese cu un număr infinit de rânduri și coloane Din elementele acestui tabel, construim o secvență cu următoarea regulă a1 = 0/1; a2 = 1/1; a3 = -1 / 1; a4 = 1/2; a5 = -2 / 1; a6 = 2/1 și așa mai departe. se deplasează în direcția indicată de săgeți. Evident, această secvență va include toate numerele raționale. Mai mult, multe numere vor fi repetate în ea. În consecință, cardinalitatea setului de elemente dintr-o secvență dată nu este mai mică decât cardinalitatea setului de numere raționale. Pe de altă parte, această secvență este echivalentă cu o serie naturală, adică subsetul setului Q. deci nu poate avea o putere mai mare decât Q. Prin urmare, mulțimea de numere raționale este numărabilă. Un set infinit care nu este numărare este numit necunoscut. 1. Fiecare subset al unui set de numere este finit sau numărare. Dovada. Fie A un set numeric și BÍA. Deoarece A este numărare, numărăm elementele sale și construim o secvență din ele Din această secvență, selectați toate elementele aparținând setului B, adică, ia în considerare secvența Sunt posibile următoarele cazuri: 1) setul B este finit; 2) setul B este infinit. Deoarece elementele din setul B sunt numerotate, în cel de-al doilea caz este numărate, ceea ce urma să fie dovedit. 2. Unirea oricărui set de mulțimi finite sau numărabile de seturi numărabile este din nou numărare. Dovada. Să presupunem că seturile A1. A2. AN. - numărare. În cazul în care numărul lor nu este mai mult decât numărarea, atunci seturile pot fi numerotate și plasate elementele care aparțin acestora în tabel Să presupunem că B =. Construim o secvență asemănătoare cu ceea ce sa făcut în §4 în demonstrarea echilibrului Q. Dacă seturile Ai intersectează pereche (Ai Çaj ¹Æ), atunci secvența (1) nu include acele elemente care sunt deja numerotate. Astfel, este construită o corespondență unu-la-unu între seturile B și N. Prin urmare, mulțimea B este numărabilă. 3. Fiecare set infinit conține un subset numărare. Dovada. Fie M un set infinit arbitrar. Alegem un prim element arbitrar în el și îl desemnează cu a1. apoi - elementul a2, etc. Obținem secvența a1. a2. care nu se poate rupe la un element, deoarece M este infinit. În consecință, această secvență formează un subset numărare din setul M. Teorema dovedită ne permite să afirmăm că printre seturile infinite setul numărare este "cel mai mic". Dacă setul este finit sau numărare, atunci se spune că este cel mult numărare. Exemplele și proprietățile examinate pot da impresia că toate seturile infinite sunt numărate. Cu toate acestea, acest lucru este departe de caz, și pentru a dovedi acest lucru este suficient să construim un exemplar contrar, adică arată un set infinit care nu este numărare. Teorema. Setul tuturor secvențelor binare infinite, adică constând în 0 și 1, este nesemnificativă. Dovada. Să presupunem contrariul, adică că aceste secvențe pot fi numerotate. Să presupunem că P1. P2. - secvențe, unde P1 = 11. A12. a13>, P2 = 21. A22. a23> etc. unde aij = 0 sau aij = 1. Construim o secvență P care nu este inclusă în această listă. O astfel de secvență există, de exemplu, P = 11. 1-A22. 1-A33.>. Evident, elementele sale sunt 0 sau 1 și nu este egală cu nici una din lista, deoarece diferă de secvența P1 cu cel puțin primul element, de la P2 - cel puțin al doilea, și așa mai departe. Astfel, secvența construită diferă de oricare dintre secvențele numerotate de cel puțin un element. În consecință, mulțimea tuturor secvențelor binare nu poate fi numerotată, ceea ce înseamnă că este nesemnificativă.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: