Metode de bază pentru dovedirea inegalităților
1. Dovada inegalităților cu ajutorul definiției (Corolarul 1 și Corolarul 2).
2. Metoda sintetică a dovezilor.
Esența acestei metode este că, folosind o serie de transformări, inegalitatea care trebuie dovedită este derivată din inegalitățile cunoscute (de sprijin).
3. Dovada inegalităților prin contradicție.
4. Dovada inegalităților prin metoda inducerii matematice.
Unele inegalități algebrice bine cunoscute
1. Inegalitatea cu privire la suma a două numere inverse:
1) Dacă a> 0, atunci inegalitatea a + (1 / a) ≥ 2 ține,
iar inegalitatea devine o egalitate numai pentru a = 1.
2) Dacă a <0. то справедливо неравенство a + (1/a ) ≤ −2,
iar inegalitatea devine o egalitate doar pentru a = -1.
Corolar. Dacă a și b sunt două numere ale aceluiași semn, adică ab> 0, atunci a / b + b / a ≥ 2 este valid.
2. Relația dintre valorile medii
- media aritmetică a numerelor nonnegative a 1, a 2, ..., an.
Este media geometrică a numerelor nonnegative a 1, a 2, ..., an.
Este armonicul mediu al numerelor pozitive a 1, a 2, ..., an.
- media numărului neregulat quadratic a 1, a 2, ..., an.
Este puterea medie a ordinii a
O valoare mai mare a o corespunde unei valori mai mari de Vn (a).
În special, inegalitatea Cauchy între media geometrică și media aritmetică: dacă a 1, a 2, ..., a sunt numere nonnegative
Pentru două numere pozitive a și b, avem:
0 ≤ min (a, b) ≤ ξ ∈ L
3. inegalitatea lui Bernoulli cu un exponent natural.
Pentru orice real x (x> -1) și pentru orice număr întreg pozitiv n,
4. inegalitatea Bernoulli cu un exponent arbitrar.
Să presupunem că x. r Î R. x> -1, r ≠ 0. r ≠ 1. Atunci se mențin următoarele inegalități
iar inegalitățile se transformă în egalități doar pentru x = 0.
5. inegalitatea lui Bernoulli pentru n numere.
Fie x 1, x 2 xn # 8213; numerele unui semn, xi> -1, i = 1, 2. n. atunci
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: