Serii alternante și alternante
1. Semnul d'Alembert
2. Testul Cauchy
3. Criteriul integral pentru convergența seriei
4. Serii alternante. Semnul distinctiv al lui Leibniz
5. Serii alternante. Seriile convergente absolut și condiționat
Lista surselor utilizate
1. Semnul d'Alembert
Teorema 1 (testul d'Alembert). Lăsați seria să fie dată. unde tot> 0. Dacă există o limită
atunci pentru 0 1 seria converge.
◄ Există o limită mai mică
unde 0 0, de exemplu, pentru
,există un indice N astfel încât pentru toate n ≥ N inegalitatea
1, începând cu un număr N, inegalitate
În consecință, 0 și seria se diferențiază, deoarece criteriul necesar pentru convergență nu este îndeplinit. ►
Notă. În cazul în care
Sau nu există, semnul d'Alembert nu oferă răspunsul despre convergența sau divergența seriei.
Exemple. Investigați următoarele serii de convergență:
1.
◄ Pentru o serie dată, avem
Pe baza d'Alembert, seria converge. ►
2.
◄ Avem
Acest număr este divergent. ►
Teorema 2 (testul Cauchy). Să se dea o serie
Dacă există o limită finită
apoi 1) converge pentru serie, și 2) seria diverge.
◄ 1) Să presupunem că. Luăm un număr q astfel încât. Deoarece există o limită
în cazul în care. apoi, pornind de la un număr N., inegalitatea va rămâne.
De fapt, dintr-o anumită egalitate rezultă că pentru orice ε, inclusiv pentru
ε =. există un număr N pornind de la care inegalitatea
de unde sau ce, de asemenea,
.
Prin urmare, obținem
pentru.
Astfel, toți membrii seriei, începând cu. mai puțin decât termenii corespunzători ai seriei convergente. Prin comparație, seria
converge și, prin urmare, și seria (1) converge.
2) Să presupunem că. Apoi, începând cu un număr N, pentru toate n> N. inegalitatea deține. sau
Și seriile (1) se deosebesc. ►
Notă. În cazul în care. atunci seria (1) poate fie converg sau diverg.
Exemple. Investigați următoarele serii de convergență:
3. Criteriul integral pentru convergența seriei
Teorema 3 (criteriul integral pentru convergență). Să presupunem că funcția f (x) este definită, continuă, pozitivă și nu crește pe rază. apoi:
1) seria numerică converge în cazul în care integritatea necorespunzătoare
2) seria se diferențiază dacă integritatea necorespunzătoare (1)
◄ Luați în considerare graficul funcției f (x) cu abscisele
x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, .... xn = n
și să construiască figuri cu două trepte constând în protuberanțe și intrări în dreptunghiuri, așa cum se arată în Fig. 1. Zona Q a trapezului curbilinar mărginită de liniile x = 1, x = n, y = 0 și curba y = f (x) este egală cu
Luăm a șaptea sumă parțială a seriei:
S n = f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)
Apoi, zona Q + a figurii proiectate va fi egală cu
Q + = f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n-1)
Și zona Q a figurii primite este
Q - = + f (2) + f (3) + ... + f (n) = S n - f (1).
Din structura și proprietățile funcției f (x) rezultă că
Q-0 pentru. atunci rezultă din inegalitatea (2)
S n 0 pentru n = 1, 2, .... Prin urmare, are o limită
Ceea ce înseamnă convergența seriei.
2) Să presupunem că diferențialul (1) diverge. Deoarece prin ipoteză
f (x)> 0 pentru.
S n ≥. n = 1, 2, ...,
și anume seria diverge. ►
Exemplu 1. Investigați seria de convergență
◄ Aici. Se știe că integritatea necorespunzătoare
converge pentru p> 1 și diverge pentru p ≤ 1. În consecință, această serie converge pentru p> 1 și diverge
pentru p ≤ 1. În particular, pentru p = 1 obținem seria armonică
Exemplu 2. Investigați seria de convergență
◄ În acest caz, funcția u
= (arctg b-arctg 1) =,
și anume integrală
converge și, prin urmare, seria converge. ►
Exemplu 3. Investigați pentru serii de convergență
Deoarece termenul general al acestei serii are forma. apoi selectăm o funcție.
Integralul necorespunzător
Prin urmare, seria diferă de asemenea. ►
Notă. Limita inferioară a integrării în integritatea necorespunzătoare
poate fi considerată arbitrară, de exemplu egală cu a, unde a ≥ 1 este orice număr.
Exemplu 4. Investigați convergența seriei
◄ De la termenul general al seriei
apoi ca o funcție pe care o luăm
Deoarece integritatea necorespunzătoare
converge, apoi seria originală converge și ea. ►
În cazul convergenței metodei aplicate în dovada convergenței semnului integral, acesta oferă o estimare a erorii, care are loc atunci când înlocuiți sumele sumei parțiale.
Să presupunem că funcția f (x) satisface condițiile din Teorema 9, seria
converge și suma lui este egală cu S. Se poate arăta că în acest caz integritatea necorespunzătoare
estima restul Rn din seria dată, avem
Astfel, eroarea obținută la înlocuirea sumei S dintr-o serie convergentă
cea de-a treia parte a lui Sn. nu depășește integralele.
Exemplul 5. Stabilirea convergenței seriei
și pentru a estima eroarea la înlocuirea sumei sale S5.
◄ Aici
Prin criteriul integral, seria converge. Denumim suma acestei serii de S și presupunem că
S ≈ S5. atunci
S ≈ S5 ==
Să estimăm eroarea R5. Avem
Exemplul 6. Estimați reziduul n-lea dintr-o serie convergentă
4 serii alternante. Semnul distinctiv al lui Leibniz
Definiția. Serii de numere
a1 - a2 + a3 - ... + (- 1) n - 1an + ...,
unde toate numerele sunt pozitive, se numește semnul-alternativ.
Un exemplu. Seria
este alternativ, și seria
cel alternativ nu este.
Pentru seria alternativă, se aplică următorul test de convergență, care se numește testul Leibniz.
Teorema 4 (testul Leibniz). Lăsați în seria alternativă
a1 - a2 + a3 - ...
secvență numerică
a1> a2> a3> ... Apoi această serie converge, iar suma S este pozitivă și nu depășește primul termen:
◄ Luați o sumă chiar parțială S2n din această serie și scrieți-o în formă
S2n = (a1 - a2) + (a3 - a4) + ... + (a2n-1-a2n).
Din ipoteza teoremei rezultă că diferențele dintre paranteze sunt pozitive și, prin urmare, S2n> 0,
și cu creșterea n, suma parțială S2n crește. Această sumă poate fi înregistrată
și așa:
S2n = a1 - (a2 - a3) - (a4 - a5) - ... - (-a2n 2 - a2n-1) - a2n.
Aici fiecare categorie este pozitivă, din care rezultă
descărcați pagina de copertă pentru muncă
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: