Teorema existenței. În cazul în care:
1) funcția dispare la un moment dat;
2) și sunt definite și continue în vecinătatea punctului;
apoi într-un cartier suficient de mic al punctului există o funcție unică unică continuă
Derivații parțiali ai funcțiilor specificați implicit. Dacă toate condițiile din teorema de mai sus sunt îndeplinite și, în plus, funcția este diferențiată într-o vecinătate a punctului. atunci funcția este diferențiată într-o vecinătate a punctului și derivatele sale și poate fi găsită din ecuații
Dacă funcția este diferențiată de un număr suficient de multe ori, atunci derivatele ordinelor superioare ale funcției se calculează prin diferențierea succesivă a acestor ecuații.
Diferențierea funcțiilor implicite definite de un sistem de ecuații. Permiteți funcțiilor să îndeplinească următoarele condiții:
1) dispare în punctul respectiv;
2) sunt diferențiate într-o vecinătate a unui punct;
3) un determinant funcțional (Jacobian) la un punct.
Apoi, sistemul de ecuații
determină în mod unic într-un vecinătate a unui punct un sistem de funcții diferențiate
satisfacerea sistemului de ecuații și condițiile inițiale
Diferențele dintre aceste funcții implicite pot fi găsite din sistem
Exemplul 6.1. Găsiți derivatele parțiale ale funcției în punctul (1; 1). date implicit de ecuație
Soluția. Din ecuație găsim valoarea funcției la un anumit punct:
. Funcția dispare la (1; 1; 2) și este continuă în vecinătatea sa și derivatele sale parțiale
Prin urmare, funcția poate fi diferențiată continuu într-o vecinătate a punctului (1; 1; 2) iar derivații ei parțiali pot fi găsiți din formulele:
și valoarea la punctul (1, 1, 2):
Exemplul 6.2. Găsiți derivatele primei și celei de-a doua ordine de funcții implicite la un punct. Dacă aceste funcții sunt date de un sistem de ecuații
și să satisfacă condițiile.
sunt diferențiate într-un cartier de punct. Derivații privați
sunt continue într-un punct. Deoarece și. iar Jacobianul în punctul este diferit de zero, adică,
atunci sistemul de ecuații (1) definește o singură pereche de funcții. de două ori diferențiată într-un cartier de punct.
Diferențiezăm sistemul (1) în variabila:
Înlocuindu-ne coordonatele unui punct din acest sistem, obținem
Apoi. Încă o dată, ne diferențiăm cu privire la sistemul (2):
În punctul pe care îl avem
6.1. Ecuația definește o funcție multivaluată de. În ce domenii este această funcție: 1) unic, 2) dublu, 3) patru, 4) patru cifre? Determinați punctele de ramificație ale acestei funcții și ramurile sale unice.
Găsiți și pentru funcțiile definite de următoarele ecuații:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: