Acasă | Despre noi | feedback-ul
Prin definiție, densitatea unei variabile aleatorii distribuite normal este
Valorile posibile ale unei astfel de valori a lui X pot lua orice valoare reală -∞<Х<∞, а распределение зависит от двух параметров. -∞ Astfel, graficul funcției f (x) va fi după cum urmează:
Dacă m = 0 și # 963; = 1. atunci legea distribuției normale se numește standard. În acest caz
Dacă variabila aleatoare X este distribuită conform legii normale cu parametrii m și # 963; atunci acest fapt este scris astfel.
Calculați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii
Astfel, parametrul m este așteptarea matematică a variabilei aleatoare X.
Acum calculam variația
unde am folosit ceea ce se întâmplă în conformitate cu regula lui L'Hospital
Astfel, parametrul # 963; este abaterea standard, deoarece # 963; 2 este variația.
Modul și media distribuției normale coincid cu așteptările matematice, deoarece Maximul f (x) este atins la x = m și
funcția de distribuție a legii care are graficul prezentat în figură.
Să calculăm P (a<Х unde am folosit formula Newton-Leibniz pentru integrale definite, și este orice antiderivativă pentru integrad
Orice derivat antiderivativ poate fi calculat din formula
unde C este o constantă arbitrară. Acest lucru poate fi ușor verificat prin diferențiere.
Pentru C = 0 obținem funcția Laplace
și pentru C = ∞, funcția de distribuție a normei normale standard
În funcție de tabelele pe care le avem la dispoziție, vom folosi una sau o altă formulă. Observăm că este mai convenabil să folosim tabelele funcției Laplace, deoarece este ciudat și suntem ușor - găsim valorile sale pentru un argument negativ (de obicei tabelele sunt date doar pentru valorile pozitive ale argumentului). Folosirea tabelelor pentru funcția Φ * (χ) în acest caz este oarecum mai inconvenientă dacă este dată numai pentru valorile pozitive ale argumentului.
EXEMPLUL 1. Să găsim probabilitatea ca X să ia o valoare din intervalul 0, 3 [.
Prin tabelul funcției Laplace obținem
Prin tabelul funcției de distribuție a legii normale standard obținem, folosind legătura sa cu funcția Laplace:
care este ușor de explicat prin figura următoare.
Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatorie normală să cadă în intervalul m-1, m + l [simetric față de așteptările matematice:
Pentru diferite valori ale lui l obținem
După cum vedem, deși valorile teoretic posibile ale lui X pot fi arbitrare, dar practic toate valorile intră în intervalul m-3 # 963 ;, m + 3 # 963; Acest fapt este de obicei numit regula "trei sigma". Cu o distribuție normală de 10.000 de măsurători, numai 27 au dreptul "legitim" de a părăsi acest interval (un eveniment puțin probabil și de obicei neglijat). Prin urmare, putem presupune că toate valorile posibile ale unei variabile aleatorii normale sunt în acest interval.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: