Oferim definiția limitei unei funcții a două variabile în sensul lui Cauchy.
Definiția. Numărul A se numește limita funcției pentru; la un punct dacă există, astfel încât pentru toți cei care îndeplinesc condițiile | | și | | | , inegalitatea - A | .
Această definiție în forma simbolică poate fi scrisă după cum urmează:
Pentru a indica limita unei funcții la un punct, se folosește o altă formă de înregistrare:
Notă. La determinarea limitei unei funcții la un punct, se presupune că funcția nu poate fi definită la punctul în sine.
Un exemplu. Dovedește utilizarea definiției limitei Cauchy care.
Soluția. Domeniul funcției D. Alegem un număr arbitrar și găsim, astfel încât pentru orice punct pentru care este adevărat, inegalitatea deține. Deoarece pentru orice punct D relația
unde este distanța de la punct la punct.
În consecință, pentru oricare dintre acestea am găsit un număr astfel încât pentru orice punct care aparține - vecinătății unui punct, adică, când, inegalitatea
După cum este necesar pentru a dovedi.
Definițiile de mai sus ale limitei unei funcții a două variabile pot fi generalizate fără dificultate în cazul funcțiilor a trei sau mai multe variabile. De exemplu, generalizăm limita Cauchy în cazul unei funcții a variabilelor independente.
Definiția. Numărul A este numit limita funcției pentru, adică, la un punct dacă există, astfel încât pentru toți cei care îndeplinesc condițiile | | , | | | | , ..., | | | , inegalitatea - A | .
Folosind conceptul de limită a unei funcții, este posibil să se definească o funcție infinitezimal la (), pentru a obține proprietățile de bază ale funcțiilor infinitezimale compara funcțiile infinitezimale, pentru a demonstra teorema că diferența dintre funcția pe care are o limită, iar limita sa este o funcție infinitezimal de a formula de bază teoreme despre operațiile aritmetice pe exterior. Toate aceste teoreme pentru cazul au fost luate în considerare în studiul funcțiilor de o variabilă.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: