4. Arătați că dacă și b - întregi pozitivi astfel încât ab-pătrat liber, ab f 3 (mod 4), și pentru fiecare tip de determinant D = -ab conține doar o singură clasă, următoarele condiții sunt necesare și suficiente pentru a permite astfel încât k = ax2 + by2 este un număr prime: (1) ax și prin relativ prime; (2) ax și având o paritate opusă; (3) singurele reprezentări k = au1 + b sunt acele reprezentări Cu = + x, v = + y. [Fără pierderea generalității, putem presupune că a = p1p2.
pn este ciudat. Atunci ak este norma divizorului principal al formei [P1, *] (p2, *). (Pn, *) A.] Având o astfel vidchislap = ab (cum ar fi 165) numit Euler numere convenabile (idoneus clausus). În studiul complet al numerelor convenabile, este necesar să se ia în considerare cazurile ab = 3 (mod 4) și / sau ab nu este lipsită de pătrate. Vezi exercițiul. 8-12 - § 8.1.
5. Gasiti toate valorile lui x sub 50, pentru care 165 + x- este un numar prim. [Pe lângă excepțiile evidente care corespund condițiilor (1) și (2), există 5 excepții care corespund condiției (3), care în cele din urmă dă 7 simple.]
6. Dovedeste ca S este un numar convenabil. Dovedeste ca 1301 = 362 + 5 este un numar prim. [Începând cu 1301, scade 5, 15, 25, 35, 45 în serie. Rețineți că această progresie conține doar un pătrat.]
7. Numerele Ipoteză Fermat de forma x2 - (-. 5u2 (vezi § 1.7) constă în faptul că, în cazul în care P1 și P2 - simplu, care sunt comparabile cu 3 modulo 4, și care se termină în notația zecimală pentru 3 sau 7, P1P2 = x2 + 5u2. Demonstrati că această ipoteză este corectă. [de comparații p = 3 sau 7 (mod 20), care desparte p și divizorii sale prime aparțin clasei de non-coincizând principal cu genul.]
8. Demonstrați faptul că un prim prime p are forma p = x2 - Dy2 numai dacă p sau p + D este un mod pătrat 4D. Euler a crezut că această condiție este de asemenea suficientă. Într-adevăr, cele mai mici valori ale lui D pentru care acest lucru nu este satisfăcut sunt destul de mari. Unul dintre ei a găsit Lagrange [L2, Sec. 84]. Un exemplu de Lagrange este cazul D = 79, p = 101; Apoi p + D este un modulo pătrat 4Z, dar p Φ x2 - Dy2. Mai mult de 7.10. Cursuri cu două căi
că Lagrange a remarcat că este imposibil să se răspundă la întrebarea dacă are loc egalitate p = x2 - Dy2, nu știe nimic, cu excepția pentru clasa p 4D mod. Într-adevăr, 101 = 733 (mod 4D), 733 este simplu și 733 = x2 - Dy2 (pentru D = 79). Reformați aceste afirmații în termenii claselor și genurilor primilor divizori de 101 și 733 și le dovediți. Valoarea mai mică a D. care contrazice ipoteza lui Euler este dată în exercițiu. 9 până la §8.4.
7.10. Cursuri cu două căi
Gauss a numit clasa divizoarelor (deși, bineînțeles, în formularea sa era o chestiune de clase de forme binare patrate, nu divizoare) printr-o clasă cu două laturi dacă această clasă coincide cu conjugatul său. Această definiție poate fi formulată diferit dacă spunem că orice divizor A de o anumită clasă satisface relația A
Un Gauss a descoperit că numărul claselor cu două laturi (sau cel puțin limita superioară a acesteia) poate fi găsit direct fără a recurge la o lege reciprocă patratică sau la teoremele lui Euler, și că oferă suficiente informații despre natura posibilă a clasei divizor aici ar putea aduce reciprocitate pătratică (și, prin urmare, toate teorema § 7.8 lui Euler). această secțiune este dedicată calcularea numărului de clase Concluzie drept bilaterale pătratic reciproce STI este prezentată în următorul paragraf m.
Dacă p este un prim ramificat, atunci (p, *) 2
/ și clasa divizoare (p, *) este bidirecțională. În plus, pentru D> 0, (-1, *) se află în clasa cu două laturi. În consecință, orice produs (p15 *) (p2, *). (ph, *), unde P1, p2. ph sunt simple ramificate sau, pentru D> 0, P1 poate fi -1, se află într-o clasă cu două laturi. Studiul directă a exemplelor de § 7.6 se asigură că, în acest mod de a obține toate clasele bilaterale, t. E. Orice clasă bilaterală conține împărțitor de forma (Pi> *) (Pr> *) • • • (Pk, *) • [Când D = 67 ambele clase sunt două fețe; unul conține produsul I-gol, (-1, *) XX (2, *), (-1, *) (67, *) și (2, ), (2, *), (67, *) și (-1, *) (2, *) (67, *). Pentru D = -165, divizorii A = (2, *), B = (3, *), C = (S, *) și produsele lor se află în toate cele 8 clase posibile. Dacă D = -163, atunci clasa unică este bidirecțională și conține atât produsul gol al I și (163, *). Pentru D = 79, clasele I și B3 sunt două fețe, unde B = (3, 1). Primul dintre ele conține I, (2, *), (-1, *) x X (79, *) și (-1, *) ), (79, *), (-1, *) (2, *) și (2, *) (79, *). Dacă D = -161, atunci clasele 1, Ai, B, AiB, unde A = (3, 1), B = (7, *) sunt două fețe. Acestea conțin / și (7, *) (23, *); (2, *) și (2, *) (7, *) (23, *); (7, *) și (23, *); (2, *) (7, *) și respectiv (2, *) (23, *). la
Ch. 7. Teoria divizoarelor de întregi patrati
Trimiteți-le prietenilor: