Transmiterea multiplă a grupului de permutare

Dovada. Grupul H este tranzitat pe un subset de simboluri m. Orice subgrup conjugat cu H. este tranzitorie pe un set de simboluri m, iar din moment ce grupul G este tranzitoriu, orice simbol cade în cel puțin unul dintre aceste seturi.





Dacă aceste seturi nu se intersectează sau nu coincid, atunci ar fi regiuni de imprimitivitate pentru grupa G. În consecință, pentru un subgrup H există subgrupuri conjugate care rearanjează unele, dar nu toate, acele simboluri care rearanjează subgrupa H. Să presupunem că H # x2032; Este una din subgrupurile conjugate la H și astfel încât grupurile H și H # x2032; rearanjăm cel mai mare număr posibil de simboluri comune. Am stabilit

Înțelegem această notație astfel încât c 1. c s. c_> sunt simboluri care sunt rearanjate ca grupa H. și grupul H # x2032; . a 1. a r. a_> sunt caracterele rămase care sunt rearanjate de grupul H. b 1. b r. b_> sunt caracterele rămase care sunt rearanjate de grupul H # x2032; . Se afirmă că dacă grupul H este primitiv, atunci r = 1. și dacă H este imprimitivă și r> 1. apoi un 1. a r. a_> constituie regiunea de imprimitivitate pentru H. Luăm un element h # x2032; din H.

Aici, elementele liniei inferioare nu sunt specificate, ci pur și simplu au indicat că elementele u ale formulei b i> sunt mapate la elementele b. un număr de elemente b este mapat la c. un număr c în b și c în c. Trebuie remarcat faptul că numărul r # x2212; u elemente ale formulei b i>. afișate în elemente ale formulei c j>. trebuie să fie egală cu numărul de elemente ale formulei c j>. afișate în elementele formularului b i>. deoarece în linia inferioară a substituției h # x2032; trebuie să existe exact elemente r ale formei b i>.

Rezultă că subgrupul h # x2032; # x2212; 1 # x2217; H # x2217; h # x2032; * H * h '> permută elemente r ale formei a k>. r # x2212; u elemente ale formulei b i> și (s # x2212; r + u) de elemente de forma c j>. și, prin urmare, acest subgrup permută numai elementele s + u astfel încât ele să fie, de asemenea, rearanjate de către subgrupul H. Astfel, dacă r> 1 și subgrupul H # x2032; primitiv, putem găsi elementul h # x2032; . traducând unele, dar nu toate, elementele formei b i> în elemente de aceeași formă, din care 1

În cazul în care grupul H este imprimittiv, raționamentul nu este aplicabil. Dar putem crește numărul s de simboluri mutate simultan de către subgrupurile H și H # x2032; . până când simbolurile b 1. b r. b_> nu constituie regiunea de imprimitivitate pentru H # x2032; . și un 1. r. a_> este regiunea de imprimitivitate pentru H. În plus, H # x222a; H # x2032; Este un grup tranzitiv pe s + 2 r = m + r simboluri. Astfel, dacă m este mai mic decât n / 2. atunci m + r este mai mică decât n. Putem continua să construim subgrupuri tranzitive pe un număr tot mai mare de simboluri până când vom obține un subgrup transitiv de H peste simbolurile m, unde m este mai mare decât n / 2. dar mai puțin de n. Apoi, orice subgrup H # x2032; . conjugat cu H. transpune mai multe simboluri ca și subgrupul H. Să presupunem că subgrupul H este tranzitat la cel mai mare număr posibil printr-un simbol care nu depășește n. Dacă s + 2 r = n și r = 1. atunci subgrupul H este tranzitat pe n # x2212; 1 simboluri și, prin urmare, grupul G este de două ori tranzit. Dacă acest lucru nu este valabil, construim grupul H. pentru care s + 2 r = n și r # x2260; 1. În acest caz, simbolurile formei a> k>. b i> și c j> constituie întregul set pe care acționează grupul G. Dar din moment ce grupul G este primitiv, există un element g al grupului G. care afișează simbolul b 1> într-un anumit simbol b i>. dar nu toate simbolurile de acest fel - în simboluri de același fel și, prin urmare, prezintă cel puțin un element al formei k> sau c j> într-un element al formulei b i>. Apoi ambele subgrupe H și g # x2212; 1 H g Hg> lasă în locul elementul specificat b i> și unirea lor este un grup tranzit pe un număr mare de simboluri decât subgrupa H. Astfel, la sfârșit obținem un subgrup tranzitiv pe n # x2212; 1 simboluri și, prin urmare, G este de două ori tranzit.