Forme quadrate și relația lor cu matricele simetrice. Proprietățile vectorilor proprii și ale valorilor proprii ale unei matrice simetrice. Reducerea formei patrate în forma canonică.
Definitia 10.1 O forma patratica a variabilelor reale x 1. x2, ..., xn este un polinom de gradul al doilea in ceea ce priveste aceste variabile care nu contine un termen liber si termeni de gradul I.
Exemple de forme patrate:
Reamintim definiția unei matrice simetrice dată în ultima prelegere:
Definiție 10.2. Se spune că o matrice pătrată este simetrică. în cazul în care. adică dacă elementele matricei sunt simetrice în raport cu diagonala principală.
Proprietățile proprietăților și vectorilor proprii ai unei matrice simetrice:
1) Toate valorile proprii ale matricei simetrice sunt reale.
Dovada (pentru n = 2).
Să presupunem că A are forma :. Să formuleze ecuația caracteristică:
(10.2) Să găsim discriminatorii:
în consecință, ecuația are doar rădăcini reale.
2) Vectorii proprii ai matricei simetrice sunt ortogonali.
Dovada (pentru n = 2).
Coordonatele vectorilor proprii și trebuie să satisfacă ecuațiile:
Prin urmare, ele pot fi definite după cum urmează:
. Produsul scalar al acestor vectori are forma:
Prin teorema lui Viete, din ecuația (10.2), obținem că punem aceste relații în ecuația precedentă: Prin urmare,
Notă. În exemplul considerat în Lectura 9, vectorii proprii ai matricei simetrice s-au găsit și sa atras atenția asupra faptului că s-au dovedit a fi pereche ortogonale.
Definiție 10.3 O matrice de formă patratică (10.1) este o matrice simetrică. (10.3)
Astfel, toate valorile proprii ale matricei unei forme patrate sunt reale, iar toate vectorii proprii sunt ortogonali. Dacă toate valorile proprii sunt distincte, atunci de la trei vectori proprii normalizați ai matricei (10.3) se poate construi o bază în spațiul tridimensional. Pe această bază, forma quadratică va avea o formă specială care nu conține produse de variabile.
Reducerea formei patrate în forma canonică.
Definiția 10.4 Forma următoare este denumită forma canonică a formei patrate (10.1) :. (10.4)
Să arătăm că în baza vectorilor proprii forma formată (10.1) ia forma canonică. lăsa
- vectori proprii normali care corespund valorilor proprii # 955; 1, # 955; 2. (10,3) pe bază ortonormală. Apoi, matricea tranziției de la baza veche la cea nouă va fi matricea
. Într-o nouă bază, matricea A ia forma diagonală (9.7) (de proprietatea vectorilor proprii). Astfel, prin transformarea coordonatelor prin formule:
obținem în noua bază forma canonică a formei patrate cu coeficienți egali cu valorile proprii # 955; 1, # 955; 2. # 955; 3.
Observație 1. Din punct de vedere geometric, transformarea de coordonate luată în considerare este o rotație a sistemului de coordonate care combină vechile axe de coordonate cu cele noi.
Notă 2. Dacă oricare dintre valorile proprii de (10.3) sunt identice cu vectori proprii lor ortonormate corespunzătoare pot adăuga un vector ortogonale unitate pentru fiecare dintre ele, și de a construi o bază, astfel, în care forma pătratică ia forma canonică.
Reducem forma cantitativă în forma canonică
Matricea sa are forma În exemplul considerat în Lectura 9, se găsesc valorile proprii și vectorii proprii ortonormali ai acestei matrici:
Formăm matricea de tranziție la baza acestor vectori:
(ordinea vectorilor se modifică astfel încât să formeze cei trei). Transformăm coordonatele prin formule.
Astfel, forma patratică este redusă la forma canonică cu coeficienți egali cu valorile proprii ale matricei formei patrate.
Articole similare
-
Know-how, prelegere, configurare și planificare a subsistemului input-output
-
Cunoștințe, prelegere, elementele de bază ale predării în asistență medicală
Trimiteți-le prietenilor: