Se arată că un izomorfism izometric, adică o hartă liniară bijectivă care păstrează produsul scalar, are această proprietate. Converse este, de asemenea, adevărat.
Teoremă 1. Dacă φ este un operator izometric, atunci φ este bijectiv și păstrează produsul scalar.
Dovada. Bijectivitatea φ rezultă din existența operatorului invers φ = φ *. Verificăm că produsul scalar este păstrat sub hartă φ:
(Φ (x), φ (y)) = (x. Φ * (φ (y))) = (x. (Φ * φ) (y)) = (x. Id y) = (x. Y) .
Fixăm o bază ortonormală e 1. e 2. ..., e n în spațiul euclidian E. Fie A φ matricea operatorului izometric φ în această bază. Deoarece matricea operatorului conjugat φ * pe aceeași bază are forma
= A. φ (sau. = = Φ în cazul real), atunci matricea operatorului izometric φ are proprietatea:
Să studiem mai detaliat astfel de matrici.
Definiția 8. Matricea O M n (R) este considerată a fi ortogonală. dacă O -1 = O T. Se consideră că matricea U M n (C) este unitară. dacă U -1 = U T.
Teorema 2. Rândurile și coloanele unei matrice unitare (ortogonale) sunt perechi vectori ortogonali ai lungimii unității.
matricea U. În consecință, coloanele lui U sunt, de asemenea, pereche ortogonale și au lungimea unității, QED.
Această afirmație despre coloanele lui U poate fi de asemenea obținută din considerente geometrice dacă U este matricea unui operator izometric pe bază ortonormală. Coloanele matricei constau în coordonatele imaginilor vectorilor de bază e 1. e 2. ..., e n în baza considerată. Un operator izometric păstrează produsul scalar. Astfel, coloanele - vectori φ (e 1), ..., φ (e n) - formează de asemenea o bază ortonormală.
Observăm că matricele unitare (ortogonale) sunt de asemenea întâlnite atunci când se iau în considerare matricele tranziției de la o bază ortonormală la alta. Într-adevăr, fie e 1. e 2. ..., e n și e 1. e 2. ..., e n. - două astfel de baze și P este matricea tranziției de la prima bază la cea de-a doua. Coloanele matricei P constau din coordonatele vectorilor e 1. e 2. ..., e n. în baza e 1. e 2. ..., e n. Coloane ale temelor matricei P
cele mai multe sunt perechii vectori ortogonali ai lungimii unității. Prin urmare, P T P este o matrice constând din produse scalare pereche de coloane, este egală cu E,
P T P = E. Astfel, P T este inversul matricei P -1. iar matricea P este ea însăși unitară (ortogonală).
Considerăm acum determinantul matricei unitare U. det U (suma cu semnele corespunzătoare ale produselor elementelor matrice luate din diferite rânduri și coloane diferite) este un număr complex.
înlocuirea gradului n. sgn σ este semnul său și S n este setul tuturor acestor permutări.
Deoarece conjugarea complexă merge cu operațiunile de adăugare
și multiplicarea numerelor complexe, apoi det U = det U. Calculăm modulul numărului complex det U.
Teorema 3. Fie U o matrice unitară, apoi | det U | = 1.
Dovada. det (U U T) = det U det U T = det U det U = det U det U = | det U | 2.
Dar U U T = E. În consecință, | det U | 2 = 1 și | det U | = 1, deoarece modulul unui număr complex este un număr pozitiv real. Determinantul unei matrice unitare este un număr complex care este egal cu unitatea în valoare absolută, poate fi scris în forma:
det U = e i α = cos α + i sin α, QED.
Dacă O este o matrice ortogonală, atunci toate elementele ei sunt reale și O = O. det O este un număr real, iar din dovada Teoremei 3 obținem | det O | 2 = 1. Prin urmare, în cazul real det O = ± 1.
Notă. Fie e 1. e 2. ..., e n și e 1. e 2. ..., e n. Sunt două baze ortonormale în spațiul euclidian real, iar P este matricea de tranziție de la prima la cea de-a doua. P este o matrice ortogonală și, prin urmare, det P = ± 1. Spunem că bazele e 1. e 2. ..., e n și e 1. e 2. ..., e n. au aceeași orientare. dacă det P = 1, și opusul. dacă det P = -1. lua în considerare
spațiu R n. Orice bază care are aceeași orientare cu o bază standard va fi denumită pozitiv orientată. Bazele opuse orientate vor fi numite orientate negativ. Aceste definiții generalizează conceptele de triple poziționate pozitiv și negativ ale vectorilor unui spațiu vectorial tridimensional în cazul bazelor ortonormale din spațiul standard Euclidian Rn.
§ 6. Proprietățile unui operator izometric
Luați în considerare un subspațiu liniar L în spațiul euclidian E și complementul său ortogonal L.
Teorema 1. Dacă L este un subspațiu invariant al operatorului izometric φ, atunci L este și un subspațiu invariant al acestui operator.
Dovada. Pentru orice x L y L și au: = 0. Fie il; (y X.) apoi pentru a verifica dacă invariant subspațiul L sub acțiunea unui φ operatorul trebuie să se asigure că (x φ (y).) = 0 pentru orice x L. subspatiu L este invariant sub acțiunea unui φ operatorului, deci φ: L → L - operatorul izometric în L adică o mapare bijectivă și liniară. Prin urmare, orice vector x L poate fi scris ca φ (x,), unde x. = φ -1 (x). În acest fel,
(x, y) = (φ (x,), φ (y)) = (x, y) = 0, deoarece x. L. și Y L. QED.
Reamintim că dacă un operator liniar (nu neapărat izometric) are vectori proprii, atunci acesta are și subspații invariante, de exemplu, eigensubspaces V λ. Prin urmare, este recomandabil să se înceapă căutarea subspațiilor invariante ale operatorului izometric φ prin studierea spectrului său.
Teorema 2. Rădăcinile ecuației caracteristice a unui operator izometric sunt egale cu unul în modul.
Dovada. Cazul 1. Fie φ un operator izometric în spațiul euclidian complex E.
P cp (λ) polinomială, ca orice polinom de gradul n ≥ 1 C. peste un câmp are cel puțin o λ rădăcină 0 (mai exact, n rădăcini cu privire la multiplicități lor). Această rădăcină este o valoare proprie a operatorului φ care corespunde vectorului propriu x 0.
(X x 0. 0) = (φ (x 0), φ (x 0)) = (λ 0 λ 0 x 0. x 0) = λ 0 λ 0 (x 0. x 0).
λ 0 λ 0 = | λ 0 | 2. Deoarece x 0 este un vector propriu, atunci (x 0. x 0) ≠ 0 și | λ 0 | 2 = 1. Prin urmare, | λ 0 | = 1.
(λ) = det (O - λ E), P φ (λ) = det (O - λ E).
Dar în cazul 1 sa arătat că toate rădăcinile caracteristicilor multi-
modulo egal cu 1, QED.
Întrucât într-un spațiu liniar complex orice rădăcină a ecuației caracteristice este o valoare proprie, operatorul izometric are subspații invariante. Dacă x 0 este un vector propriu care corespunde valorii proprii λ 0, atunci lungimea sa liniară L =
= x 0 este un subspațiu invariant unidimensional al unui operator izometric.
În cazul real, așa cum arată exemplul operatorului de rotație pe plan, un unghi α ≠ k π. un operator izometric poate să nu aibă subspații ne-triviali invarianți (adică subspații, alții decât zero și spațiul întreg). Acest lucru se datorează lipsei de rădăcini reale ale ecuației caracteristice.
Luați în considerare un operator izometric φ într-un spațiu euclidian real. Rădăcinile ecuației sale caracteristice sunt egale cu unitatea modulo. Dacă acestea sunt reale, atunci acestea sunt numerele ± 1, care sunt valorile proprii ale operatorului, iar subspațiile corespunzătoare corespunzătoare sunt invariabile. Dacă rădăcina ecuației caracteristice λ nu este a
atunci λ = e i α. α ≠ k π.
TEOREMA 3. Fie λ = e i α (α ≠ k π) - rădăcina P cp (λ) caracteristica ecuația = 0 cp operatorul izometric, care funcționează în timp real Euclidian spațiului E; atunci există un subspațiu invariabil bidimensional L al lui E. în care operatorul φ este o rotație printr-un unghi α.
Dovada. Fixați o bază ortonormală e 1. e 2. ..., e n în spațiul E; O este matricea operatorului pe această bază. Ca și în dovada Teoremei 2, stabilim un izomorfism izometric între spațiul E și
Completul ortogonal L este, de asemenea, invariabil sub operatorul φ. dim L = k. t. Pentru a. E = LL și dim E = L dim + dim L. operatorul φ acționează în spațiul L. și, prin urmare, prin inducerea în spațiul L există bază ortonormală e 2. ..., ek +1 din vectorii proprii φ . Apoi, e 1. 2. e ..., e k 1 - bază ortonormală în spațiul E. format din vectorii proprii de φ, QED.
Matricea unui operator izometric în baza vectorilor proprii este diagonală, și numerele diagonale ale unui modul. Astfel, pentru fiecare matrice unitară U există o altă matrice V unitară astfel încât V -1 UV - matrice diagonală. Matricea V - este matricea de tranziție de la baza ortonormală standard de referință, în care un operator este definit ca un operator de multiplicare cu matrice U. la o bază canonică a vectorilor proprii a căror existență este dovedită în Teorema 1. Cu alte cuvinte, putem spune că orice matrice unitară similară cu o specială diagonală tip:
Dacă φ - operatorul izometrică în spațiul real euclidiană, atunci aceasta nu poate fi o bază ortonormală de vectori proprii ca, de exemplu, rotația operatorului la un unghi α ≠ k π plane. Totuși, chiar și în cazul real, operatorul izometric are o bază ortonormală (canonică) specială.
Teorema 2. Fie φ un operator izometric într-un spațiu Euclidian real E; atunci în acest spațiu există o bază ortonormală în care matricea operatorului are forma:
Aceasta este o matrice diagonală celulară a cărei celule unidimensionale sunt numerele 1 sau -1, iar cele bidimensionale sunt matrici de rotație la unghiurile α i.
Dovada (prin metoda inducției matematice). Să presupunem că φ acționează
în spațiul euclidian unidimensional E. În acest caz, operatorul φ este o multiplicare cu un număr care este ± 1 prin izometrie. Vectorul e al lungimii unității
în spațiul E este baza necesară.
Să presupunem că teorema este adevărată pentru spațiile euclidice E cu dimensiuni mai mici decât n (dim dim L = 1. Vectorul e 1 = Pe baza teoremei 1 a §6 .. Relativ invariant subspațiul L φ, adică cp acționează în spațiul L. L dim = n - 1, și prin inducție spațială ipoteza L are baza de ortonormală e 2. ..., e n. în care matricea operatorului φ are forma dorită cu diagonală celulară. Vectori e 1. e 2. ..., e n - E. bază ortonormală a spațiului în care matricea are celula φ operatorul necesar diagonală. Dacă nu există numere reale în spectrul operatorului φ, atunci luați în considerare rădăcina creionului λ 0 = e i α 0 din ecuația caracteristică. Conform Teorema 3, § 6 in spatiul E acolo bidimensional subspații L. în care operatorul φ acționează ca o rotație cu un unghi α 0. Fie e 1. e 2 - L. ortonormală bază ortogonală subspațiul complement L invariant în raport cu cp, și L dim = n - 2. prin inducție în L există bază ortonormală e 3. ..., e n. în care matricea operatorului φ are o formă canonică. Rețineți că în acest caz toate celulele de pe diagonală sunt bidimensionale, QED. Din această teoremă implică faptul că matricea ortogonală pentru fiecare O, există o altă Q matrice ortogonale (matricea de tranziție la o bază canonică) astfel încât Q -1 OQ - matrice bloc diagonală descrisă în Teorema 2. În cele din urmă, observăm că forma canonică a matricei ortogonale este determinată în mod unic până la o permutare a celulelor de diagonală. 8. Operatorii izometrici în plan și în spațiu Teorema 2 din secțiunea precedentă permite operatorilor să clasifice planul izometric în spațiu tridimensional, care descrie nu numai toate matrici ortogonale de dimensiune 2 și 3 până la similitudine, dar, de asemenea, operatorii geometrice relevante. Să considerăm izometrie în planul cp, t. E. Într-un standard bidimensional Euclidian spațiu R 2. Forma canonică a matricei φ determinat fără echivoc până la ordinea de celule pe diagonală. Fie e 1. e 2 sa fie o baza ortonormala a spatiului R 2. In care matricea opera- φ are forma canonică. Dacă O = cu excepția 0 sunt vectorii proprii ai operatorului φ cu valoarea proprie -1. Operatorul φ efectuează în spațiul simetria centrală cu privire la origine: φ (x) = - x. Acum presupunem că există numere non-reale în spectrul operatorului φ. Operatorul φ este izometric, prin urmare, prin teorema 2 din §1, acestea sunt numere ale formulei e i α. Polinomul caracteristic P φ (λ) are coeficienți reali. După cum se știe, rădăcinile non-reale ale polinoamelor reale apar în pa- Pentru a continua descărcarea, trebuie să colectați imaginea:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: