Algebra logică este un dispozitiv matematic cu ajutorul căruia se scrie, calculează, simplifică și transformă afirmațiile logice.
Fondatorul algebricii logice este matematicianul englez George Buhl, care a trăit în secolul al XIX-lea, după care această algebră este numită algebra booleană a declarațiilor.
Ce este o declarație logică?
Declarație logică - aceasta este orice predispoziție narativă, în legătură cu care poți spune cu certitudine că este adevărată sau falsă.
De exemplu, propoziția "6 - număr par" ar trebui să fie considerată o declarație, deoarece este adevărată. Teza "Roma este capitala Franței" este de asemenea o declarație, deoarece este falsă.
Desigur, nu fiecare propoziție este o declarație logică. Exemplele nu sunt, de exemplu, propoziția "un elev din clasa a zecea" și "știința informaticii este un subiect interesant". Prima teză nu spune nimic despre student, iar al doilea folosește o noțiune prea vagă despre un "subiect interesant". Interpretarea și propozițiile exclamatorii nu sunt, de asemenea, afirmații, deoarece nu are rost să vorbim despre adevărul sau falsitatea lor.
Oferte cum ar fi „Un oraș de peste un milion de locuitori“, „ochii lui albaștri“ nu sunt afirmații ca pentru a stabili adevăr sau falsitatea au nevoie de informații suplimentare: pe ce specifică un oraș sau persoana în cauză. Astfel de propuneri se numesc forme expresive.
Un formular de declarație este o propoziție narativă care conține direct sau indirect cel puțin o variabilă și devine o declarație atunci când toate variabilele sunt înlocuite de valorile lor.
Algebra logică consideră orice afirmație numai dintr-un punct de vedere - fie că este adevărat, fie că este fals. Rețineți că este adesea dificil să se stabilească adevărul unei declarații. De exemplu, afirmația "suprafața Oceanului Indian este de 75 de milioane de metri pătrați. km "într-o situație poate fi considerată falsă, iar în alta - adevărată. False - deoarece valoarea specificată este inexactă și nu este constantă deloc. Adevărat - dacă o considerăm o aproximare, acceptabilă în practică.
Așa cum este utilizat în cuvinte obișnuite de vorbire și expresii „nu“, „și“, „sau“ „în cazul în care. Apoi“, „dacă și numai dacă“ și alții lasă în declarații deja date pentru a construi noi expresii. Aceste cuvinte și expresii sunt numite conector logic.
Declarațiile formate din alte declarații care folosesc conectivități logice sunt numite declarații compuse. Declarațiile care nu sunt compuse sunt numite declarații elementare.
Deci, de exemplu, declarațiile elementare „Petrov - un medic,“ „Petrov - șah“ cu ligamentele, „și“ este posibil să se obțină un compozit spunând „Petrov - un medic și un jucător de șah“, înțeles ca „Petrov -. Un doctor, un joc bun de șah“
Cu ajutorul cordoanelor „sau“ aceleași situații pot fi obținute declarație compus „Petrov - un medic sau un jucător de șah“, „Petrov sau medic, sau șah, sau medicul și jucătorul, în același timp“, înțeles în logica algebra ca
Adevărul sau falsitatea declarațiilor compuse astfel obținute depinde de adevărul sau falsitatea declarațiilor elementare.
Pentru a se referi la afirmațiile logice, sunt atribuite nume. Fie A să spunem "Timur va merge la mare în timpul verii", iar prin B - zicala "Timur va merge în munți în timpul verii". Apoi declarația compus „vizita Timur de vară și de pe mare, și în munți“ poate fi scris pe scurt ca A și B. Aici „și“ - conectiv logic, A, B - un boolean care mogut ia doar două valori - „true“ sau " minciuna ", notată, respectiv," 1 "și" 0 "
Fiecare grămadă logică este considerată o operație cu afirmații logice și are numele și denumirea:
(1) Operațiunea exprimată de cuvântul "nu" este numită negare și este desemnată printr-o bară peste declarația (sau semnul lui ni). Declarația este adevărată atunci când A este falsă și falsă când A este adevărată. Un exemplu. "Luna este un satelit al Pământului" (A); "Luna nu este un satelit al Pământului" ().
(2) Operațiunea exprimată prin ligament „și“ numit conjuncție (lat conjunctio -. Compus) sau multiplicare logic, și este notat cu litera „•“ (mai poate fi mentionat semne sau ui ). Instrucțiunea A • B este adevărată dacă și numai dacă ambele instrucțiuni A și B sunt adevărate. De exemplu, spunând
"10 este împărțită în 2 și 5 este mai mare de 3"
este adevărat și vorbe
"10 este împărțit în 2 și 5 nu este mai mare de 3";
"10 nu este divizibil cu 2 și 5 este mai mare de 3",
"10 nu este divizibil cu 2 și 5 nu este mai mare de 3"
(3) Operațiunea exprimată printr-un grup de „sau“ (în sens inclusiv, neexclusiv al cuvântului), se numește disjuncție (disjunctio Latină -. Diviziunea) sau o completare logică și notat cu simbolul v (sau plus). Declarația A v B este falsă dacă și numai dacă ambele instrucțiuni A și B sunt false. De exemplu, spunând
"10 nu este divizibil cu 2 sau 5 nu este mai mare de 3"
false și declarații
"10 este împărțit în 2 sau 5 mai mult de 3",
"10 este împărțit la 2 sau 5 nu este mai mare de 3";
"10 nu este divizibil cu 2 sau 5 este mai mare de 3"
(4) O operațiune exprimată prin "dacă. apoi "," de. urmează ",". atrage după sine. ", Se numește implicație (implicită latină - strâns legată) și este notată cu simbolul ®. Declarația A ® B este falsă dacă și numai dacă A este adevărată și B este falsă.
Cum implică implicarea două declarații elementare? Să arătăm acest lucru cu exemplul de afirmații: "acest patrulater este un pătrat" (A) și "despre un patrulater dat este posibil să se descrie un cerc" (B). Luați în considerare o declarație compusă A ® B, înțeleasă ca "dacă quadrilateralul dat este un pătrat, atunci o circumferință poate fi descrisă în jurul acestuia". Există trei opțiuni atunci când teza A ® B este adevărată:
1. A este adevărat și B este adevărat, adică, acest quadrangle este un pătrat, iar în jurul acestuia se poate descrie un cerc;
2. Un fals și B este adevărat, adică patrulaterul nu este un pătrat, dar în jurul valorii este posibil să se descrie un cerc (desigur, acest lucru nu este valabil pentru fiecare patrulater);
3. A este falsă și B este falsă, adică, acest patrulater nu este un pătrat și nu puteți descrie un cerc în jurul acestuia.
Numai o variantă este falsă: A este adevărată și B este falsă, adică, acest quadrangle este un pătrat, dar nu se poate descrie un cerc în jurul acestuia.
În discursul obișnuit, o grămadă de "dacă. apoi "descrie relația cauză-efect între declarații. Dar în operațiunile logice, semnificația afirmațiilor nu este luată în considerare. Numai adevărul sau falsitatea lor este considerată. De aceea, nu trebuie să fim jenați de "lipsa de sens" a implicării formate din afirmații complet neconcordante în conținut. De exemplu, acestea sunt:
"Dacă președintele american este un democrat, atunci în Africa există girafe"
"În cazul în care pepene verde este o boabe, atunci există benzină în benzinărie."
(5) O operațiune exprimată prin legături "dacă și numai dacă", "necesară și suficientă", "este echivalentă", se numește o semnificație echivalentă sau dublă și este marcată cu semnul "sau
Declarația A "B este adevărată dacă și numai dacă valorile lui A și B sunt identice.
"24 este divizibil cu 6 dacă și numai dacă 24 este divizibil cu 3",
"23 este divizibil cu 6 dacă și numai dacă 23 este divizibil de 3"
sunt adevărate și declarații
"24 este divizibil cu 6 dacă și numai dacă 24 este divizibil cu 5",
"21 este divizibil cu 6 dacă și numai dacă 21 este divizibil cu 3"
Declarațiile A și B formează o parte integrantă propoziția A „B poate fi complet independenți în conținut, cum ar fi“ trei peste doi „(A)“ pinguini trăiesc în Antarctica „(B). Refuzul acestor afirmații sunt declarații "trei nu mai mult de două" (), "pinguinii nu trăiesc în Antarctica" (). Formate din declarațiile A, B, compozițiile A "B și" sunt adevărate, iar declarațiile A "și" B "sunt false.
Deci, am considerat cinci operații logice: negare, conjuncție, disjuncție, implicare și echivalență.
Implicațiile pot fi exprimate prin disjuncție și negare. A ® B = v B. Echivalența poate fi exprimată în termeni de negare. disjuncție și conjuncție. A "B = (v B) • (v A).
Astfel, operațiile de negare, disjuncție și conjuncții sunt suficiente pentru a descrie și procesa afirmații logice.
Ordinea operațiilor logice este specificată în paranteze. Dar, pentru a reduce numărul de paranteze au fost de acord să-și asume faptul că prima operațiune este realizată negație ( „nu“), atunci conjunctia ( „și“), după coroborat - disjuncția ( „sau“), și cel mai puțin - implicația.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: