Conceptul unui criteriu de optimitate
Formularea criteriilor pentru sistemele economice este o condiție necesară pentru optimizarea deciziilor de planificare. În cazul general, criteriul optimității este înțeles ca un criteriu pe baza căruia se face o estimare, o comparație a alternativelor, o clasificare a obiectelor și a fenomenelor. Criteriul de optimalitate a funcționării sistemului economic este unul dintre criteriile posibile (calități) ale calității sale, adică semnul potrivit căruia funcționarea sistemului este recunoscută drept cea mai bună opțiune posibilă pentru funcționarea sa. În sfera luării deciziilor economice, criteriul optimalității este un indicator care exprimă măsura marginală a efectului economic al deciziei economice luate pentru o evaluare comparativă a posibilelor soluții la alegerea celor mai buni dintre ei. Cel mai frecvent utilizat este un maxim de profit sau un minim de costuri.
Criteriul de optimitate este de obicei cantitativ și arată cum una dintre opțiuni este mai bună decât cealaltă. Un criteriu ordinal determină numai că o opțiune este mai bună sau mai rea decât o altă opțiune. Forma matematică a criteriului de optimitate în modelele economico-matematice este funcția obiectivă, a cărei valoare extremă caracterizează eficiența maximă admisibilă a activității obiectului modelat.
În cazul în care pentru clasificarea unui semn să ia formularea matematică, criteriile sunt împărțite în scalară și vector, aditiv și criterii multiplicative, integrale în termeni de timp și integrate în aspectul spațial și altele.
Este posibilă clasificarea modelelor în funcție de aspectul temporal, metodele de formare a criteriilor, tipul de instrumente de măsură folosite și modalitățile de utilizare a criteriilor.
Esența criteriilor de optimitate globală și locală.
Separarea criteriilor în plan global și local poate fi atribuită oricărui sistem construit ierarhic de modele, de exemplu, industria sau modelul de întreprindere.
Un criteriu global poate primi o formulare verbală, iar pentru rezolvarea problemelor practice de planificare și gestionare o astfel de formulare este detaliată și prezentată ca un ansamblu de criterii locale mai specifice. Matematic, un criteriu global este formulat de obicei sub forma unei funcții obiective scalare care exprimă generic întreaga diversitate de scopuri sau sub forma unei funcții vectoriale care este un set de funcții obiective specifice ireductibile.
Cele mai multe sisteme pe mai multe niveluri au două niveluri: superioară și inferioară. Modelele de sistem programul de producție întreprindere include lucrări modelul de calcul al indicatorilor generali și indicatori de magazine individuale. În formarea unor criterii generalizate ar trebui să fie luate în considerare și (interese private) locale, precum și criteriile locale - sunt supuse generalizare.
Complexitatea sistemului de obiective se explică prin varietatea sarcinilor de dezvoltare socială și dezvoltarea sistemelor, precum și prin măsura în care legăturile externe ale acestui sistem sunt extinse și intense.
Sistemul de criterii al sistemului sucursale include satisfacerea nevoilor publice ale produselor produse, economisirea resurselor, introducerea progreselor științifice și tehnice, asigurarea fiabilității îndeplinirii sarcinilor planificate. Legăturile externe ale sistemelor sucursale și, prin urmare, complexele obiectivelor lor, sunt complicate de factorul timpului, de organizarea spațială, de o combinație de abordări și aspecte diferite ale planificării.
Scopurile multiple ale dezvoltării sistemului complică în mod semnificativ planificarea, mai ales dacă obiectivele sunt multidirecționale, iar apropierea unui obiectiv elimină sistemul de a ajunge la alții. Astfel, se pune problema acordului lor. Găsirea celor mai bune soluții pentru mai multe criterii se numește optimizare multicriterială sau vector.
Formularea matematică a problemei de optimizare a vectorului:
Fie X = x 1, ..., x N (j = 1, N) - variabile un vector de variabile, de obicei este presupus non-negativ vector X 0, relația funcțională dintre variabilele stabilite relații bine definite, care sunt restricții impuse:
gi (X) ≤ bi (i = 1, M).
Funcționarea sistemului este evaluată prin anumite criterii, scrise sub forma unor funcții obiective fr (X) (r = 1, K). Un set de criterii poate fi reprezentat ca o funcție obiectiv vectorial
F (X) = f f 1 (X), ...> fr (X) .
Pentru a minimiza criteriul fr (X), este suficient să maximizăm-fr (X), deoarece min fr (X) = -max (-fr (X)). Prin urmare, se presupune în cele ce urmează că fiecare componentă a criteriului vectorial este maximizată. Sarcina de optimizare multi-scop este scrisă ca o problemă vectorială a programării matematice (VZMP)
F (X) = f1 (X), ...> fr (X) (max),
gi (X) ≤ bi (i = 1, M);
Vom lua în considerare VZMP pentru cazul în care optim punctul X * r (r = 1, K), obținută prin rezolvarea problemei pentru fiecare fr criteriu (r = 1, K) nu sunt aceleași (în cazul coincidență este extrem de rară, iar această problemă nu este de interes ). De aceea, din punct de vedere matematic, problema este incorectă, deoarece dacă unul dintre criterii atinge optimul său, atunci îmbunătățirea altor componente ale criteriului vectorial este imposibilă. Prin urmare, rezultă că soluția VZMP nu poate fi decât o soluție de compromis.
O caracteristică specială a problemelor de optimizare a vectorilor este prezența în domeniul valorilor admisibile a zonei compromisurilor, în care îmbunătățirea simultană a tuturor criteriilor este imposibilă. Planurile aparținând zonei de compromis sunt numite eficiente sau optime de Pareto (după economistul italian, care a formulat prima dată problema optimizării vectorilor și principiul optimalității soluției).
Conceptul de preferință a planului. Planul X nu este mai rău decât planul X `, dacă
fr (X ) fr (X `) (r = 1, K). Dacă cel puțin una dintre aceste inegalități este strictă, planul X este preferabil (mai bine) X `, adică în tranziția de la X la X ", valoarea nici unui criteriu nu sa înrăutățit și cel puțin un criteriu sa îmbunătățit. Planul X Pareto optim (eficient) în cazul în care este valabilă și nu există nici un alt plan de X `, pentru care fr (X ) fr (X`) (r = 1, K), și cel puțin un criteriu de strictă inegalitate.
La formularea generală a unei probleme multicriteriale, problemele cu conținut diferit pot fi reduse, care pot fi împărțite în patru tipuri.
Sarcini de optimizare pe un set de obiective, fiecare dintre acestea trebuie luate în considerare la alegerea soluției optime. Un exemplu este sarcina de a elabora un plan de lucru al întreprinderii, în care o serie de indicatori economici servesc drept criterii.
Sarcini de optimizare pe un set de obiecte, calitatea fiecăruia fiind evaluată printr-un criteriu independent. Dacă calitatea funcționării fiecărui obiect este estimată prin mai multe criterii (criteriu vectorial), atunci o astfel de sarcină se numește multi-vector. Un exemplu este problema distribuției unei resurse limitate între mai multe întreprinderi. Pentru fiecare întreprindere, criteriul de optimitate este gradul de satisfacere a cerințelor sale de resurse sau un alt indicator, de exemplu, valoarea profitului. Pentru organismul de planificare, criteriul este vectorul criteriilor locale ale întreprinderilor.
Sarcini de optimizare a setului de condiții de funcționare. Este stabilită gama de condiții în care urmează să fie operat obiectul și pentru fiecare condiție calitatea funcționării este estimată de un anumit criteriu.
Sarcini de optimizare a setului de etape de funcționare. Considerăm funcționarea obiectelor pe un anumit interval de timp, împărțită în mai multe etape. Calitatea managementului în fiecare etapă este evaluată printr-un anumit criteriu și într-un set de etape - printr-un criteriu vectorial comun. Un exemplu este distribuirea planului trimestrial al magazinului de zeci de ani. În fiecare deceniu, trebuie să vă asigurați încărcarea maximă. Ca rezultat, obțineți criteriul de maximizare a încărcăturii în fiecare deceniu al trimestrului.
Sarcinile multicriteriale pot fi, de asemenea, clasificate în funcție de alte criterii: prin opțiunile de optimizare, prin numărul de criterii, prin tipurile de criterii, prin relațiile dintre criterii, prin nivelul de structurare, prin prezența factorului de incertitudine.
Atunci când se dezvoltă metode de rezolvare a problemelor vectoriale, este necesar să se rezolve o serie de probleme specifice.
Problema normalizării apare datorită faptului că criteriile locale au, de regulă, diferite unități și scale de măsurare, ceea ce face imposibilă compararea lor directă. Funcționarea reducerii criteriilor la o scară unică și la o formă fără dimensiuni este numită normalizare. Cele mai comune metode de raționalizare sunt înlocuirea valorilor absolute ale criteriilor prin valorile relative dimensionale
sau valori relative ale deviațiilor de la valorile optime ale criteriilor f * r
Selectarea principiului optimă a problemei este legată de definirea proprietăților soluțiilor optime și soluția problemei - sensul în care soluția optimă este superioară tuturor celorlalte.
Problema luării în considerare a priorității criteriilor apare dacă criteriile locale au o semnificație diferită. Este necesar să se găsească o definiție matematică a priorității și a gradului de influență a acesteia asupra soluționării problemei.
Problema calculării optimului apare dacă schemele și algoritmii computaționali tradiționali nu sunt potriviți pentru rezolvarea problemelor de optimizare vectorială.
Soluția problemelor enumerate merge în mai multe direcții. Principalele direcții:
Metode bazate pe reducerea criteriilor într-o singură;
Metode care utilizează constrângeri asupra criteriilor;
Metode de programare țintă;
Metode bazate pe găsirea unei soluții de compromis;
Metode bazate pe proceduri de luare a deciziilor om-mașină (programare interactivă).
În metodele bazate pe reducerea criteriilor, se formează unul dintre criteriile locale. Metoda cea mai comună este combinația liniară a criteriilor parțiale. Dată fiind un vector de criterii de greutate coeficienți de = 1, ..., r, descriind importanța criteriului adecvat, r = 1, r 0 (r = 1, K). Funcția scalară liniară este suma criteriilor parțiale înmulțite cu coeficienții de ponderare. Problema programării matematice devine un criteriu și are forma
F = rfr (X) (max);
qi (X) ≤ bi (I = 1, M),
Criteriile în convoluție pot fi normalizate. Soluția obținută ca urmare a optimizării criteriului scalarizat este eficientă.
Dezavantajele metodei includ faptul că creșterile mici ale coeficienților corespund incrementelor mari ale funcției, adică soluția problemei este instabilă, precum și necesitatea de a determina coeficienții de greutate.
Direcția metodelor care utilizează constrângerile asupra criteriilor include două abordări:
metoda criteriului principal;
metodele de aplicare consecventă a criteriilor (metoda concesiilor succesive, metoda restricțiilor).
În metoda criteriului principal, toate funcțiile obiective, cu excepția unuia, sunt traduse în categoria constrângerilor. Fie = ( 2, 3, ..., k-1) un vector al cărui componente reprezintă limitele inferioare ale criteriilor corespunzătoare. Problema va avea forma
qi (X) ≤ bi (I = 1, M),
Soluția obținută prin această metodă poate să nu fie eficientă, prin urmare este necesar să se verifice apartenența acesteia la zona compromisurilor.
Metoda de încercare de conducere utilizate în sarcini, cum ar fi minimizarea costului total, cu condiția ca planul pentru producerea de diferite tipuri de produse, maximizarea seturi complete sub constrângerea asupra resurselor consumate.
Algoritmul metodei concesiilor succesive:
Criteriile sunt enumerate în ordinea descrescătoare a importanței.
Valoarea f * 1 este determinată. Factorul de decizie determină valoarea cesiunii 1 prin acest criteriu.
Problema este rezolvată de criteriul f 2 cu restricția suplimentară f 1 (X) f * 1 - 1.
În plus, punctele 2 și 3 se repetă pentru criteriul f 2, ..., fk.
Soluția obținută nu aparține întotdeauna domeniului compromisurilor.
În rezolvarea problemelor prin metode de programare țintă, se presupune că valoarea fiecărui criteriu se apropie de o anumită valoare a fr. și anume realizarea unui obiectiv specific. În forma cea mai generală, sarcina de programare țintă este formulată ca sarcină de a minimiza sume de abateri ale funcțiilor obiective de la valorile țintă cu greutăți normalizate.
unde F = f 1. f R este vectorul valorilor țintă,
(r = 1, K), valorile lui p sunt în intervalul 1 p ,
d (.) este distanța (măsura de deviere) între F (X) și F.
În multe aplicații programarea țintă crezut p = 1. De exemplu, țintă funcțiile de programare liniară f R (X) (r = 1, K) și q i (X) (i = 1, M) sunt liniare și au variabile întregi.
Problema criteriilor de programare lexicografice specificate în ordinea importanței, astfel încât atunci când se compară perechile de soluții utilizate în principal criteriul f 1 și cel mai bun este considerat a fi soluția pentru care valoarea acestui criteriu mai mult în cazul în care valoarea primului criteriu pentru ambele soluții sunt egale, atunci criteriul f 2, și se preferă soluții pentru care valoarea f 2 mai molid iar al doilea criteriu este de a determina cea mai bună soluție, apoi trase f 3, etc. Informațiile privind importanța criteriilor sunt luate în considerare printr-o soluție pas-cu-pas a problemei minimizării abaterilor criteriilor de la valorile țintă. Adesea în programarea lexicografică, F = F. p = 1.
Punctul F nu aparține, de obicei, gama de valori admisibile și, prin urmare, uneori se numește punctul ideal sau utopic. În unele metode de programare țintă, este permis un set utopic, ca exemplu în construirea unei probleme arhimede.
Arta similara:
Metode economico-matematice și modele aplicate (2)
Lucrare de testare >> Modelarea economico-matematică
-lucrări de testare statistice pe tema „Economic și -matematicheskiemetody prikladnyemodeli“ Varianta № 5 Artist: Funcție: Grup BUAiA.
Încercați lucrările privind metodele economice și matematice și modelele aplicate
Teste de lucru >> Matematică
Lucrări practice privind metoda economică și matematică și modelul aplicat
pe modele economice și matematice
Teste de lucru >> Matematică
EMM Control lucrează la disciplina "Modele economice și matematice" Opțiunea nr. 1 Executor: Specialitatea: Contabilitate.
Metode și modele economice (1)
Curs de predare >> Modelarea economică și matematică
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: