Acasă | Despre noi | feedback-ul
Pentru o imagine abstractă a unor cantități vectoriale specifice, se utilizează vectori. Un vector (geometric) este un segment al liniei direcționate. Doi vectori sunt numiți egali dacă sunt co-directionați și au aceeași lungime. Poziția punctului de plecare a vectorilor nu joacă nici un rol. Prin urmare, se spune că vectorii geometrici sunt liberi.
Când studiază tema "Vector Algebra", elevul trebuie să acorde atenție întrebărilor discutate mai jos.
1. Operații liniare pe vectori (adunare, scădere, multiplicare cu un număr).
Vectorii trebuie să poată adăuga atât regula triunghiului, cât și regula paralelogramului.
2. O combinație liniară de vectori. Dependența liniară și independența vectorilor. Baze vectori. Cartesiană.
Exemplul 1.2.1. Specificați la ce valori # 945; și # 946; este posibil să avem egalitate
(a 0 = a / | a |, b 0 = b / | b |). Pentru a rezolva problema de mai sus este necesar
ia în considerare aranjamentul posibil al vectorilor a și b:
Fig.1.2.1 Fig.1.2.2 Fig.1.2.3
a) vectorii a și b sunt direcționați (Figura 1.2.1), atunci # 945; = - # 946; ;
b) vectorii a și b au direcția opusă (figura 1.2.2). În acest caz # 945; = # 946; ;
c) vectorii a și b formează un unghi # 966 ;. În acest caz, unghiul # 966; este diferită de 0 și π radiani (figura 1.2.3). Egalitatea dată în condiție este posibilă numai pentru # 945; = # 946; = 0.
Exemplul considerat oferă o idee a dependenței liniare și a independenței vectorilor (cea mai importantă prevedere a temei "algebra vector").
O combinație liniară a n vectorilor xi (i = 1, n) este suma produselor acestor vectori prin numere reale ai (i = 1, n), și anume
În exemplul considerat, o combinație liniară de 2 x individuale
Se consideră că vectorii xi (i = 1, n) sunt dependenți liniar dacă combinația lor liniară (1.2.1) este zero și există cel puțin un nenul între coeficienții ai (i = 1, n). În Fig. 1. 2-1-1. Figura 2 prezintă doi vectori dependenți liniar. Acestea pot fi amplasate pe o linie dreaptă sau pe linii drepte paralele.
Doi vectori localizați pe una sau două linii paralele sunt numiți coliniari.
Condiția de colinearitate a vectorilor a = # 955; b. unde # 955;ÎR. Dacă trei vectori sunt localizați într-unul sau în paralel
avioane, ele sunt numite avioane coplanare.
Vectorii coplanari sunt dependenți liniar. O condiție necesară și suficientă este coplanaritatea vectorului:
Se spune că vectorii xi (i = 1, n) sunt independenți liniar dacă combinația liniară (1.2.1) este zero dacă și numai dacă coeficienții ai (i = 1, n) sunt simultan 0.
Cazul a doi vectori independenți liniar este reprezentat de
Fig. 1.2.3 (combinație liniară # 945; a + # 946; b este egal cu zero numai dacă se convertește simultan la zero # 945; și # 946; ).
Exemplul 1.2.2. Vectorii a, b, c nu sunt coplanari (independenți liniar). Dovedeste ca vectorii m = a + 2b-c, n = Per-b + p și c = a + coplanar 5b-Sc și găsi relația lor liniară.
EcuaŃi la zero combinaŃia liniară a vectorilor m, n, p (qe45, m + K = 0) și substitui vectorii a, b, c în expansiunea vectorilor m, n, p.
Combinația liniară a vectorilor a, b și c este posibilă numai dacă coeficienții combinației liniare sunt zero. Din această condiție obținem un sistem de ecuații algebrice liniare, pe care le rezolvăm prin metoda Gauss (Exemplul 1.1.11).
Coeficienții egali cu zero ai combinației liniare a vectorilor m, n, p pot fi diferiți de zero, prin urmare vectorii m, n, p sunt dependenți liniar (coplanari). substituind # 945; # 946; # 947; în egalitate # 945; m + # 946; n + # 947; p = 0 și scurt pentru C, obținem -2m + n + k = 0.
Cu conceptul de independență liniară a vectorilor, acest concept fundamental este strâns legat ca bază.
O bază pe planul Q este orice pereche ordonată de vectori necoliniari paraleli cu planul Q. Orice vector c,
paralel cu planul Q, poate fi reprezentat în forma c = # 945; a + # 946; b.
O bază într-un spațiu tridimensional este orice triple ordonată de vectori noncoplanari (liniar independenți). Dacă a, b, c este o bază în spațiu, atunci orice vector d al spațiului poate fi descompus în mod unic în această bază prin formula:
bază plan cartezian (PMC 1.2.4) sunt cei doi vectori singuri, reciproc perpendiculare, i și j (| i | = | j | = 1, i ^ j), care coincide cu direcția pozitivă OX și OY axelor funingine, respectiv.
Orice vector al unui plan poate fi reprezentat în mod unic în forma a = ax i + ay j, unde numerele ax și ay se numesc coordonatele vectorului a.
Baza carteziană în spațiu (figura 1.2.5.) Sunt cele trei
vectori reciproc perpendiculați i, j, k, care coincid cu direcția pozitivă a axelor OX, OY și OZ, respectiv. orice
vectorul a poate fi reprezentat în mod unic în formă
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: