Pentru a învăța cum să rezolve anumite integrale, este necesar:
1) Fiți capabili să găsiți integralele corespunzătoare nedefinite.
2) Să poată calcula un integral integrat.
După cum puteți vedea, pentru a stăpâni un integrat clar, trebuie să vă orientați suficient de bine în integrali "obișnuiți" nedefiniți. Prin urmare, dacă tocmai începeți să vă aruncați în calculul integral, iar fierbătorul nu a fost încă fiert complet, este mai bine să începeți cu integrarea incertă. Exemple de soluții.
În forma generală, integrale definit este scris după cum urmează:
Ce se adaugă în comparație cu integralul nedefinit?
Se adaugă limitele integrării.
Limita inferioară a integrării este indicată de litera a.
Limita superioară a integrării este indicată de litera b.
Segmentul [a; b] include punctele de graniță și se numește segmentul de integrare.
Ce este un integral integrat? Puteți vedea în manuale despre diametrul segmentării segmentului, limita sumelor integrale etc., dar lecția este de natură practică. De aceea, să spunem că un integral integrat este, mai întâi de toate, cel mai mult ca cel normal NUMBER.
Are integrala o semnificație geometrică? Există. Și foarte bine. Cea mai populară problemă de calcul a unui integral integrat este calculul zonei prin intermediul unui integral definitiv.
Ce inseamna rezolvarea unui integrala definita? Rezolvăm un integral integrat - aceasta înseamnă găsirea unui număr egal cu creșterea funcției antiderivante pe intervalul [a; b].
Cum de a rezolva un integral integrat? Folosind formula lui Newton-Leibniz familiară de la școală:
Este mai bine să rescrieți formula pe o foaie separată, aceasta ar trebui să fie înaintea ochilor dvs. pe întreaga lecție.
Etapele rezolvării unui anumit integral sunt următoarele:
1) Mai întâi găsim funcția primitivă F (X) (integral nedefinită). Rețineți că constantul C într-un integrat definit nu este niciodată adăugat.
Desemnarea este pur tehnică, iar bagheta verticală nu are nici un înțeles matematic, de fapt - este doar o înlăturare. De ce ai nevoie de o înregistrare
Aceasta este pregătirea pentru aplicarea formulării Newton-Leibniz.
2) Înlocuim valoarea limitei superioare în funcția primitivă: F (b).
3) Înlocuim valoarea limitei inferioare în funcția primitivă: F (a).
4) Calculam (fara erori!) Diferenta F (b) -F (a), adica gasim un numar egal cu cresterea functiei antiderivative (pe integrad) pe intervalul [a; b].
Există întotdeauna un integral integrat? Nu, nu este întotdeauna tot ceea ce scriem sub forma unui integral integrat. De exemplu, integrale
nu există, deoarece segmentul de integrare nu intră în domeniul definirii integranței, iar valorile sub rădăcina pătrată nu pot fi negative. Iată un exemplu mai puțin evident:
O astfel de integritate nu există pe întreaga perioadă [-2; 3], deoarece la punctele
din acest interval, integrand f (x) = tg (x) nu există.
Pentru ca un integral integrat să existe într-un anumit interval, este necesar ca funcția integrand să fie continuă pe intervalul de integrare.
Din cele de mai sus, apare prima recomandare importantă: înainte de a începe rezolvarea oricărui integrator definit, trebuie să vă asigurați că integrarea este continuă pe intervalul de integrare. Se întâmplă că de mult timp suferiți să găsiți un antiderivativ dificil, și când îl găsiți în cele din urmă, vă plângeți și peste întrebarea: "Ce fel de nonsens este?". De exemplu, dacă s-a dovedit astfel:
atunci nu puteți înlocui numerele negative pentru rădăcină! Dacă vă propuneți un integral integrat inexistent pentru o decizie într-o lucrare de testare, un test sau un examen
atunci trebuie să se răspundă că integritatea nu există și să justifice de ce.
Poate fi un integral integrat egal cu un număr negativ? Poate. Și la un număr negativ. Și zero. S-ar putea chiar să se dovedească a fi infinit, dar va fi deja un integral necorespunzător. care are o conferință separată.
Poate limita inferioară a integrării să fie mai mare decât limita superioară a integrării? Poate că această situație se întâmplă de fapt în practică. integrală
calm calculat de formula lui Newton-Leibniz.
Ce costă matematica superioară? Desigur, fără toate proprietățile posibile. Prin urmare, considerăm unele proprietăți ale unui integral integrat.
Într-un anumit integral, limitele superioare și inferioare pot fi rearanjate, schimbând semnul:
De exemplu, într-un integru definit înainte de integrare
Se recomandă schimbarea limitelor de integrare în ordinea "obișnuită":
În această formă, integrarea este mult mai convenabilă.
În ceea ce privește un integrat indefinit, pentru un integral definitiv, proprietatile de liniaritate sunt valide:
Acest lucru este valabil nu numai pentru două, ci pentru orice număr de funcții.
Într-un integral definitiv, variabila integrării poate fi înlocuită. Adevărat, în comparație cu integralul nedefinit, există o specificitate despre care vom vorbi mai târziu.
Pentru un integrat definit, formula de integrare prin părți este validă. .
Calculați integralul definitiv
(1) Realizăm constanta după semnul integral.
(2) Ne integrăm pe masă folosind cea mai populară formulă
(3) Folosim formula Newton-Leibniz
Mai întâi înlocuim în x 3 limita superioară, apoi - limita inferioară. Noi efectuăm calcule suplimentare și obținem răspunsul final.
Calculați integralul definitiv
Acesta este un exemplu pentru auto-decizie, decizie și răspuns la sfârșitul lecției.
Calculați integralul definitiv
(1) Folosim proprietatile de linearitate ale unui integrat definit.
(2) Ne integrăm pe masă, cu toate constantele realizate - nu vor participa la înlocuirea limitelor superioare și inferioare.
(3) Pentru fiecare dintre cei trei termeni, aplicăm formula Newton-Leibniz.
O Lipsă linie într-un anumit integral este o eroare de calcul și o situație frecvent întâlnită SITUAȚIE ÎN SEMNALE. Fii atent! O atenție deosebită se concentrează pe al treilea termen:
deoarece scriu foarte des mecanic
Trebuie remarcat faptul că metoda considerată pentru rezolvarea unui integral integrat nu este singura. Cu o anumită experiență, soluția poate fi redusă semnificativ. De exemplu, aceasta:
Regulile de linearitate sunt utilizate verbal, iar integralele tabelelor sunt integrate verbal. Sa dovedit doar o singură coadă cu limitele otkrykivaniem:
(spre deosebire de cele trei paranteze din prima metodă). Și în funcția primitivă "plină", mai întâi setăm 4, apoi -2, din nou efectuând toate acțiunile din minte.
În al doilea rând, există un risc crescut de a face o greșeală în calcule, astfel încât ceainicul student este mai bine să utilizați prima metodă, pentru a nu pierde semne.
Avantajele fără îndoială ale celei de-a doua metode sunt viteza soluției, compactitatea înregistrării și faptul că antiderivativul.
este în același grup.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: