Convoluția este

Funcția f (x) și g (x) aparținând funcției f (x) definită de

și notat cu simbolul (f * g) (x). Funcția f * g este definită aproape peste tot și de asemenea îi aparține. Convoluția are proprietățile de bază ale operației de multiplicare, și anume:

pentru toate cele trei funcții ale. Prin urmare, cu adăugarea obișnuită și înmulțirea cu un număr. cu operarea lui C. ca multiplicare a elementelor din și cu norma

Se transformă într-o algebră Banach (cu normala Dacă F [f.] - transformata Fourier a lui f, atunci, și este utilizat pentru a rezolva o serie de aplicații Deci, dacă problema se reduce la o ecuație integrală a formularului.

apoi sub presupunerea că, aplicând transformarea Fourier în ecuația (*), ajungem

și transformarea inversă Fourier conduce la soluția de

Proprietățile funcțiilor C. găsesc aplicații importante în teoria probabilităților. Dacă f (x) și g (x) sunt densitățile de probabilitate ale variabilelor aleatoare independente X și Y, atunci C (f * g) este densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare X + Y.

Funcționarea C. se extinde la funcțiile generalizate. Dacă f și g sunt funcții generalizate din care cel puțin unul are suport compact și j (x) aparține spațiului funcțiilor de bază, atunci f * g este definit de egalitate

unde este produsul direct al funcțiilor generalizate f și g, care este, funcțional în spațiul funcțiilor de bază a două variabile independente astfel încât

pentru orice funcție finită infinit de diferențiat u (x, y).

C. a funcțiilor generalizate are, de asemenea, proprietatea comutativității, liniarității cu privire la fiecare argument și dacă cel puțin două dintre cele trei funcții generalizate au suporturi compacte, atunci proprietatea asociativității. Egalitățile sunt valabile:

unde D este operatorul de diferențiere și a este orice multi-index, în special, unde d este funcția delta și dacă fn. n = 1, 2. sunt funcții generalizate, astfel încât există un compactum

În cele din urmă, dacă g este o funcție finită generalizată și f este o funcție generalizată a creșterii lente, atunci transformarea Fourier este aplicabilă la f * g și din nou

Funcțiile generalizate sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea problemelor de valoare limită pentru ecuațiile diferențiale parțiale. Astfel, integralul Poisson, scris sub forma

dă soluția ecuației conducției de căldură pentru o tijă infinită, atunci când temperatura inițială m (x) poate fi nu numai o funcție obișnuită, ci și o funcție generalizată.

Noțiunea de C. atât a funcțiilor obișnuite cât și a celor generalizate este în mod natural transferată în cazul funcțiilor mai multor variabile independente: în precedent presupunem că x, y nu sunt numere reale, ci vectori de la

Lit. : [1] V. VLADIMIROV, Ecuații de Fizică Matematică, ed. M. 1981; [2] IM Gel'fand, M. M. Shilov, Funcții generalizate și acțiuni asupra lor, M. 1958; [3] T. T. T. M etr., Introducere în teoria integraliilor Fourier, Per. cu engleza. M.- L. 1948. VI Sobolev.

Enciclopedia matematică. - Enciclopedia Sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Articole similare

• Cum se aplică prelucrarea convoluției bazei de informații - 9 alte - articole - articole - clubul 1s

Trimiteți-le prietenilor: