Meridianul elipsoidului pământ este o elipsă a cărei rază de curbură este determinată de magnitudinea lui M. în funcție de latitudine. Lungimea arcului oricărei curbe cu raza variabilă poate fi calculată din formula binecunoscută a geometriei diferențiale, care, așa cum este aplicată pe meridian, are expresia
Aici B1 și B2 sunt latitudinile pentru care se determină lungimea meridianului. Integralul nu este luat într-o formă închisă în funcțiile elementare. Pentru ao calcula, sunt posibile numai metode aproximative de integrare. La selectarea metodei de plată aproximativă atenție integrării faptului că excentricitatea elipsei meridianul cantitate mică, deci nu se poate aplica metoda bazată pe o serie de expansiune în puteri de cantități mici (e / 2 cos 2 B <7*10 -3 ) биномиального выражения, стоящего под знаком интеграла. Число членов разложения будет зависеть от необходимой точности вычисления длины дуги меридиана, а также от разности широт ее конечных точек.
Practica geodezic pot exista diferite cazuri, de multe ori trebuie să efectueze calcule pentru lungimi mici (până la 60 km), dar pentru scopuri speciale, poate fi de dorit arc de calcul meridianul de mare lungime de la ecuator la punctul curent (10 000 km), între polii (în sus 20 000 km). Precizia necesară calculelor poate ajunge la 0 001 m. De aceea, considerăm mai întâi cazul general, atunci când diferența latitudini poate ajunge la 0. 180 și lungimea arcului de 20 000 km.
Pentru a extinde expresia binomică într-o serie, aplicăm formula cunoscută din matematică.
Eroarea de calcul de retenție de descompunere ale membrilor m sunt suficiente pentru a determina restul folosind formularul Lagrange, care nu este mai mică decât valoarea absolută a sumei tuturor eliminate termenii descompunerii și calculată cu formula
ca fiind primul dintre termenii abandonați ai expansiunii, calculat la valoarea maximă posibilă a lui x.
În cazul nostru, avem
Înlocuind această expresie în ecuația (4. 25), obținem
care permite termenul de integrare prin retenție pe termen de extinderi necesare ale membrilor. Să presupunem că lungimea arcului de meridianul se poate ajunge la o valoare de 10 000 km (de la ecuator la pol), ceea ce corespunde diferenței dintre latitudini DB = p / 2, în care este necesar să se calculeze precis la 0. 001 m, care va corespunde mărimii relative a 10 -10 . Valoarea cosB în orice caz nu va depăși unitatea. În cazul în care calculele se vor reține al treilea grad de descompunere, termenul rest în forma Lagrange a expresiei
După cum vedem, pentru a atinge acuratețea necesară, un astfel de număr de termeni de expansiune nu este suficient, este necesar să păstrăm cei patru termeni ai expansiunii, iar restul termenului în forma Lagrange va avea expresia
Prin urmare, în integrare, este necesar să se păstreze în acest caz patru grade de expansiune.
Integrarea Termwise (4. 28) nu funcționează, chiar dacă măsura de a converti arc multiplu (cos 2 n B in Cos (2NB)), folosind argumentul dublu cosinus formula cunoscută
; cos 2 B = (1 + cos2B) / 2,
prin aplicarea succesivă pe care o obținem
Acționând în acest fel până la 8 B. obținem după transformări simple și integrare
Aici, diferența de latitudine este luată în măsura radianului și este adoptată următoarea notație pentru coeficienții care au valori constante pentru un elipsoid cu parametri date.
Este util să ne amintim că lungimea arcului unui meridian cu o diferență de latitudini de un grad este de aproximativ 111 km, într-un minut - 1,8 km, într-o secundă - 0,331 km.
În practica geodezică, este foarte des necesară calcularea arcului unui meridian de lungime mică (de ordinul lungimii laturii triunghiului triunghi), în condițiile Belarusului această valoare nu va depăși valoarea de 30 km. În acest caz, nu este necesar să se folosească formula greoaie (4. 29), dar este posibil să se obțină un calcul mai simplu, dar cu aceeași precizie (până la 0,001 m).
Fie ca latitudinile punctelor de sfârșit pe meridian să fie B1 și B2, respectiv. Pentru distanțe de până la 30 km aceasta va corespunde latitudinile diferență în radiani, nu mai mult de 0. 27. Calcularea mediei lățime Bm arc meridianul de formula Bm = (B1 + B2) / 2. accepta meridian un arc de un arc de cerc de rază
iar lungimea lui este calculată prin formula de lungime a arcului unui cerc
unde diferența de latitudini este luată în măsura radianului.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: