Ecuații liniare și inegalități cu parametru

Ecuația (1) este echivalentă cu axa axei = -b, din care urmează următoarea afirmație.

Declarația 1.
  1. Dacă o ≠ 0, atunci ecuația (1) are o soluție unică x = -b / a;
  2. Dacă a = 0, b ≠ 0, atunci setul de soluții de ecuație (1) este gol;
  3. Dacă a = 0, b = 0, atunci orice număr real este o soluție a ecuației (1).

Astfel, ecuațiile liniare de mai sus sunt rezolvate după cum urmează:

a) x = - 6/2. adică, x = -3;
b) x = 2;
c) orice număr real este o soluție a acestei ecuații;
d) ecuația nu are soluții;
e) x = 0.

Observația 2. Ecuația (ax + b) (cx + d) = 0 unde a. b. c. d O R. reduce la un set de ecuații liniare

Exemplul 1. Rezolvați ecuațiile

Soluția. a) x = 6.

b) 2x + 1 = 2x + 3 x 2x - 2x = 3 - 1 0 0 · x = 2 din care rezultă că ecuația nu are soluții.

c) - x + 2 = 2 - x N-x + x = 2 - 2 N 0 · x = 0, deci orice număr real este o soluție a ecuației.

Astfel, dacă 2a ≠ 4, adică a ≠ 2, atunci ecuația are o soluție unică x = 2a. și dacă a = 2, atunci ecuația nu are soluții.

  • dacă a ≠ -1, a ≠ 2, - a / 2 ≠ -1, - a / 2 ≠ 2, adică 0 R, atunci ecuația are două soluții x1 = a și x2 = -a / 2 = 0, soluțiile coincid);
  • dacă a = -1, atunci ecuația are o soluție unică x = 1/2;
  • dacă a = 2, atunci ecuația nu are soluții;
  • dacă a = -4, atunci ecuația are o soluție unică x = -4.






    • f) Dacă a = 0 sau b = 0, atunci ecuația nu are sens. Fie a · b ≠ 0. Atunci ecuația este echivalentă cu următoarea: x (b + a) = abc de unde urmează:

    1. dacă b + a ≠ 0, adică a ≠ -b. atunci ecuația are o soluție unică
    2. dacă a = -b și c ≠ 0, atunci ecuația nu are soluții.
    3. dacă a = -b și c = 0, atunci orice număr real este o soluție a ecuației date.

    g) DSA a ecuației este determinată din sistem

    din care x ≠ a / 5 și, dacă a ≠ 0, x ≠ 1 / a. Dacă a = 0, atunci ecuația ia forma sau -2 = 15x.

    de unde, și, deoarece rezultă că dacă a = 0 atunci ecuația are o soluție.

    Fie a ≠ 0. Apoi ecuația ia forma 2 (ax - 1) = 3 (5x - a) în DSZ, de unde (2a - 15) x = 2 - 3a și,

    1. dacă 2a este 15 ≠ 0, adică ajungem;
    2. dacă 2a-15 = 0, atunci această ecuație nu are soluții.

    Astfel, pentru a verifica starea x ≠ a / 5 și x ≠ 1 / a. sau (2a - 15) a ≠ 5 (2 - 3a) din care 2a 2 ≠ 10, sau Astfel, pentru ecuație nu există soluții.

    În cazul celei de-a doua restricții, obținem fie un (2 - 3a) ≠ (2a - 15), din care 3a 2 = 15, adică 2 ≠ 5 (cazul deja investigat).

    Astfel, dacă ecuația nu are soluții și dacă această ecuație are o soluție unică (rețineți că soluția obținută în cazul a = 0 este cuprinsă în rezultatul dat mai sus).

    Exemplul 3. Rezolvați ecuațiile

    Astfel, dacă a = 0, atunci sistemul (și, prin urmare, ecuația) are o soluție unică x = 0, iar dacă a ≠ 0, atunci sistemul (și ecuația inițială) nu are soluții.







    Evident, dacă un 0. Atunci a = | a | = | (2a - x) + (x - a) |, iar ecuația ia forma | x - a | + | 2a - x | = (2a - x) + (x - a). Această ecuație este echivalentă cu inegalitatea (2a - x) (x - a) ≥ 0 din care, având în vedere că 0 0, atunci ecuația are un număr infinit de soluții - orice număr a ≤ x ≤ 2a.

    d) Este evident că ecuația are soluții numai pentru un> 0. Considerăm trei cazuri:

    dacă a = 1, atunci orice număr real din intervalul [1; 2] este o soluție a ecuației inițiale;

    dacă o ≠ 1, atunci nu există soluții.
  • Fie x> 2. Apoi | x - 1 | = x - 1, | x - 2 | = x - 2 și ecuația ia forma x - 1 + x - 2 = a iece Deoarece x> 2, adică> 1.

    dacă a> 1, atunci ecuația are două soluții diferite și

    dacă a = 1, atunci orice număr al intervalului [1; 2] este o soluție a ecuației;

    dacă inegalitățile liniare

    ax + b> 0, ax + b ≥ 0, ax + b 0. Luați în considerare următoarele cazuri:

    1. a> 0, apoi axa + b> 0 axa axului> -b x x> - b / a și, prin urmare, setul de soluții ale axului + b> 0 (a> 0) este (-b / a;
    2. aax + b> 0 ax ax> -b x x b / a și, prin urmare, setul de soluții ale axei inegale ax + b> 0 (a b / a);
    3. a = 0, atunci inegalitatea ia forma 0 · x + b> 0 iar pentru b> 0 orice număr real este o soluție a inegalității și pentru b ≤ 0 inegalitatea nu are soluții.

    Să luăm în considerare câteva exemple.

    Exemplu 1. Rezolvați inegalitățile

    Soluția. a) 3x + 6> 0 3 3x> -6 x x> -2 și, prin urmare, setul de soluții al inegalității inițiale este (-2 + +).

    b) -2x + 3 ≥ 0 Ы -2x ≥ -3 ≤ x ≤ 3/2. adică, setul de soluții ale inegalității inițiale este (- t; 3/2).

    c) După transformările elementare obținem inegalitatea liniară 2 (x + 1) + x Deoarece 1 3x + 2 ≥ 3 (x - 1) + 1 Ы 3x + 2 ≥ 3x - 3 + 1 Ы 0 · x + 4 ≥ 0, din care rezultă că orice număr real este o soluție a inegalității inițiale.

    Exemplul 2. Rezolvarea inegalităților

    Soluția. a) În funcție de semnul a, luați în considerare trei cazuri:

    1. dacă a> 0, atunci x ≤ 1 / a;
    2. dacă o 1 / a;
    3. dacă a = 0, atunci inegalitatea ia forma 0 · x ≤ 1 și, prin urmare, orice număr real este o soluție a inegalității inițiale.

    b) Notați că | x - 2 | ≥ 0 pentru orice valoare reală x și - (a -1) 2 ≤ 0 pentru orice valoare a parametrului a. Prin urmare, dacă a = 1, atunci orice număr real x diferit de 2 este o soluție a inegalității, iar dacă a ≠ 1, atunci orice număr real este o soluție a inegalității. Răspuns: dacă a = 1, atunci x 0 R \ și dacă o 0 R \, atunci x O R.

    c) După transformările elementare obținem 3 (4a - x) 3 (4a - 1).

    Considerăm acum trei cazuri:

    1. dacă 2a + 3> 0, adică,> 3/2.
    2. dacă 2a + 3 3/2.
    3. dacă 2a + 3 = 0, adică a = - 3/2. atunci inegalitatea ia forma 0 · x> -21 și, deoarece 0> -21 este o adevărată inegalitate numerică, rezultă că orice număr real este o soluție a inegalității inițiale.

    Apoi, ia în considerare următoarele cazuri:

    1. dacă a (b - 1)> 0, adică a> 0 și b> 1, sau a
    2. dacă a (b - 1) 0 și b 1, atunci
    3. dacă a = 0, b ≠ 1 atunci inegalitatea ia forma 0 · x> 3 - b iar pentru b> 3 orice număr este o soluție și dacă b O (- 1) ȘI (1; 3), atunci setul de soluții de inegalitate gol.
    4. dacă o ≠ 0, b = 1, atunci inegalitatea ia forma 0 · x> 2 și, evident, nu are soluții.

    dacă a = 0 și b0 (- 1) AND (1; 3) sau a ≠ 0 și b = 1, atunci inegalitatea nu are soluții.

    e) Rețineți că a ≠ ± 1, (în caz contrar inegalitatea nu are sens). Inegalitatea este rescrisă după cum urmează

    Apoi, ia în considerare următoarele cazuri:

    1. Fie o 0 (- 1; 1) și (1; + t), apoi (a - 1) (a + 1)> 0 și deci inegalitatea inițială este echivalentă cu următoarele x (2-3) a ≤ 0 sau x (2 - 3a) ≤ a - 3, de unde pentru o> 1

    Ultima inegalitate este rezolvată după cum urmează:

    Astfel, inegalitatea originală

    pentru un 0 (- 1; 1) și (2/3; 1) are soluții

    pentru un 0 (-1, 2/3) și (1; +) are soluții

    la a = 2/3. orice număr real este o soluție a inegalității inițiale.

    f) Inegalitatea inițială este echivalentă cu următoarea (a - c) x> d - b din care rezultă







    Pagina anterioară

    Pagina următoare

    Trimiteți-le prietenilor: