Fie ca un obiect natural sau artificial să înceapă să funcționeze la momentul T = 0. Ca un astfel de obiect este posibil, de exemplu, să considerăm o ființă vie din momentul nașterii sale sau din orice moment important pentru aceasta; mecanismul de lucru sau elementul acestui mecanism de la momentul includerii acestuia, etc.
Fie T - timp, fără probleme de funcționare a obiectului (viu fiind acesta poate fi timp pentru pierderea de adecvare pentru o anumită activitate sau la moartea sa, pentru mecanismul acesta poate fi timp pentru prima rupere sau înainte de lansarea finală a eșecului său, și t. d.). Conform semnificației sale, T este o variabilă aleatorie continuă a cărei valori posibile T pot fi, în principiu, orice numere non-negative :.
Să punem acum o întrebare firească: care este probabilitatea că pentru un anumit obiect va exista o inegalitate, unde T este un timp dat? Adică, ridicăm întrebarea: care este probabilitatea ca în timp T să nu cadă obiectul de funcționare? Denumim această probabilitate cu simbolul R (T) și numim funcția de fiabilitate:
Evident, pentru orice obiect funcțional, probabilitatea indicată R (T) de a-și menține funcționalitatea pentru un timp T va scădea odată cu creșterea lui T, pornind de la 1 la T = 0 și tinzând la zero la. Mai mult decât atât, așa cum rezultă din numeroasele studii practice ale unei game largi de obiecte (dispozitive tehnice, formațiuni naturale, organisme vii etc.), această scădere a funcției de fiabilitate R (T) apare aproximativ în legea exponențială (exponențială)
Acest comportament al funcției de fiabilitate R (T) este numit și Legea exponențială de fiabilitate (Fig.2.16).
Vom clarifica semnificația parametrului în cazul legii exponențiale de fiabilitate. Pentru aceasta, găsim densitatea de probabilitate și caracteristicile numerice de bază () ale variabilei aleatoare T.
Să începem să găsim. Vom căuta, pornind de la definiția (3.1) a densității de probabilitate a unei variabile aleatorii continue.
Fie T o anumită valoare fixă a T (T este momentul în care obiectul nu este în ordine). Am înconjurat această valoare cu un interval parțial [] de lungime și luăm în considerare probabilitatea ca o variabilă aleatoare T să ia o valoare în acest interval. Așadar, considerăm că probabilitatea ca un obiect să nu reușească la un moment dat aparținând acestui interval (figura 2.17).
- densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare T. reprezintă timpul de funcționare fără probleme a unui obiect care are o lege exponențială de fiabilitate. Diagrama acestei densități de probabilitate este prezentată în figura 2.19. Apropo, distribuția acestei variabile aleatoare T este numită distribuția exponențială.
Cunoscând densitatea de probabilitate, putem folosi acum formulele (3.9) - (3.14) pentru a găsi caracteristicile numerice () ale variabilei aleatoare T (obțineți-le):
Aici Tσр - Timpul mediu de funcționare fără probleme a obiectului. Prin Tcp putem exprima funcția de fiabilitate (4.23) a variabilei aleatoare T și densitatea de probabilitate a probabilității sale (4.25):
În concluzie, observăm următorul fapt important: probabilitatea de funcționare fără probleme a oricărui obiect pe durata timpului T. intervalelor de timp T de funcționare fără probleme a obiectului are o distribuție exponențială nu depinde de începutul intervalului, dar numai pe dlitelnostiT lui.
Pentru a demonstra această afirmație, introducem următoarele evenimente (Figura 2.20):
A - funcționarea fără probleme a obiectului pe intervalul de timp ();
B - funcționarea fără probleme a obiectului pe intervalul de timp ();
C - funcționarea fără defecțiune a obiectului pe intervalul de timp ():
Este evident că C = AB. din care:
Unde R (T) este probabilitatea funcționării fără defecțiune a obiectului în intervalul de timp (), și a este probabilitatea funcționării fără defecțiune a obiectului pe intervalul de timp (). Aceste probabilități sunt egale, ceea ce dovedește faptul menționat mai sus.
Observăm că variabilele aleatoare având o distribuție exponențială (o lege exponențială de fiabilitate) sunt strâns legate de evenimentele din cel mai simplu flux (Poisson). Într-adevăr, în conformitate cu formula (2.8) din capitolul 1, există o probabilitate ca timp pentru evenimentele cu cel mai simplu flux să nu apară în timpul T, conform formulei:
Aici este intensitatea debitului Poisson (numărul mediu de evenimente de flux care apar pe unitate de timp). Apoi - timpul mediu care trece între aparițiile evenimentelor individuale de flux. Luând în considerare acest lucru, probabilitatea (4.30) are forma:
Dar exact aceeași formă de (4.27) are funcția exponențială de fiabilitate R (T), determinarea probabilității de funcționare fără probleme a obiectului în T. timp Prin urmare, timpul de funcționare eșec T a obiectului la exponențial fiabilitatea și timpul TA se scurge între evenimente învecinate cel mai simplu flux, au aceeași distribuție. Anume, distribuția exponențială cu densitatea de probabilitate descrisă de formula (4.27).
Exemplul 3. Durata medie de funcționare fără probleme a unui dispozitiv care are o lege indicativă de fiabilitate este de 50 de ore. Determinați probabilitatea ca dispozitivul să funcționeze 100 de ore, fără a eșua.
Soluția. Fie T momentul în care funcționează fără probleme dispozitivul. Deoarece valoarea medie a acestui timp este TCP = 50 ore, funcția de fiabilitate R (T) pentru dispozitivul avut în vedere are, în conformitate cu (4.27), forma:
Apoi, în conformitate cu (4.22), obținem probabilitatea necesară:
1. Intervalul de trafic troleibuz este de 5 minute. Care este probabilitatea ca un pasager care sa oprit să trebuiască să aștepte următorul troleibuz timp de cel puțin trei minute?
2. O anumită substanță este cântărită fără erori sistematice, cu o eroare medie aleatorie de 20 g (una sau cealaltă). Găsiți probabilitatea ca cântărirea să fie efectuată cu o eroare de maximum 10 g în valoare absolută.
3. Rata de semințe de însămânțare pe hectar este de 200 kg. Consumul efectiv de semințe pe hectar fluctuează în jurul acestei valori, cu o abatere medie de 10 kg. Se determină numărul de semințe care asigură însămânțarea pe o suprafață de 100 de hectare, cu o garanție (probabilitate) de 0,95.
4. Masina-unelte produce semifabricate. Diametrul de proiectare al discurilor este de 100 mm. Se știe că mașina produce o medie de 2% din discuri cu un diametru mai mare de 101 mm. Un manechin este considerat potrivit dacă diametrul acestuia este cuprins între 99 mm și 101 mm. Câte procente din blancurile care pot fi utilizate fac mașină-unelte?
5. Testați două dispozitive independente de funcționare. Durata funcționării fără defecțiuni a ambelor dispozitive are o distribuție orientativă. Timpul mediu de funcționare fără probleme a primului dispozitiv este de 40 de ore, în al doilea 20 de ore. Găsiți probabilitatea ca în 10 ore:
A) primul dispozitiv nu va eșua;
B) al doilea dispozitiv nu va eșua;
B) ambele dispozitive nu vor eșua;
D) ambele dispozitive eșuează;
E) cel puțin un dispozitiv nu va eșua.
Răspuns. a) 0,78; b) 0,61; c) 0,47; d) 0,09; (e) 0,91.
6. În oraș se nasc o medie de 5 copii pe zi. Având în vedere nașterile copiilor ca evenimente care constituie cel mai simplu flux de evenimente, găsiți:
A) așteptări matematice;
B) abaterea standard;
B) coeficientul de variație a valorii aleatorii a timpului T între nașterile succesive ale copiilor.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: