Distribuția exponențială este utilizată pe scară largă în teoria fiabilității.
Să presupunem că un dispozitiv începe să funcționeze la momentul t0 = 0. și după ceva timp, dispozitivul eșuează.
Fie T o variabilă aleatorie continuă - durata operației de nefuncționare a dispozitivului.
Astfel, funcția de distribuție F (t) = P (T Probabilitatea evenimentului opus (funcționarea fără defecțiune în timpul t) este R (t) = P (T> t) = 1-F (t). Funcția de fiabilitate R (t) este o funcție care determină probabilitatea funcționării fără defecțiuni a dispozitivului în timpul t. Adesea, în practică, durata operării fără defecte respectă legea distribuției exponențiale. În general, dacă luăm în considerare un nou dispozitiv, atunci probabilitatea de eșec la începutul funcționării sale va fi mai mare, atunci numărul de defecțiuni va scădea și va avea de ceva timp aproape aceeași valoare. Apoi (când aparatul își dezvoltă resursa), numărul de defecțiuni va crește. Cu alte cuvinte, se poate spune că funcționarea dispozitivului de-a lungul existenței sale (în ceea ce privește numărul de eșecuri) poate fi descrisă printr-o combinație a două legi exponențiale (la începutul și la sfârșitul funcționării) și o lege uniformă de distribuție. Funcția de fiabilitate pentru un dispozitiv cu o lege de distribuție exponențială este: Acest raport este numit legea exponențială de fiabilitate. O proprietate importantă care permite de a simplifica în mod considerabil sarcinile teoriei fiabilității este faptul că probabilitatea de defectare a dispozitivului la intervalul de timp t nu depinde de timpul operației anterioare, înainte de începerea intervalului respectiv, și depinde numai de durata de timp t. Astfel, funcționarea fără defecțiuni a dispozitivului depinde numai de rata de defecțiune l și nu depinde de funcționarea fără defecțiuni a dispozitivului în trecut. Deoarece o astfel de proprietate este posedată numai de legea distribuției exponențiale, acest fapt permite să se determine dacă legea distribuției unei variabile aleatorii este exponențială sau nu. Exemplu: Durata funcționării fără probleme a dispozitivului are o lege de distribuție exponențială: F (t) = 1 - e -0,01 t (t> 0). Găsiți probabilitatea că într-un timp t = 50 ore: a) elementul va eșua; b) elementul nu va eșua. Soluție: Pentru că funcția de distribuție determină probabilitatea de defectare a dispozitivului pentru un timp t, apoi înlocuind în funcția t = 50, avem probabilitatea de eșec: F (50) = 1 - e -0,01 # 8729; 50 = 1 -e -0,5 = 1 - 0,606 = 0,394 Evenimentele "dispozitivul nu reușește" și "dispozitivul nu eșuează" sunt opuse, astfel încât probabilitatea ca dispozitivul să nu se defecteze: P = 1 - 0,394 = 0,606 Același rezultat ar putea fi obținut utilizând funcția de fiabilitate: R (50) = e-0,01 # 8729; 50 = 0,606 1. Să se familiarizeze cu partea teoretică a acestei lucrări (prelegeri, manuale). 9.4 Opțiuni pentru sarcini pentru muncă independentă 1. Asteptarile matematice ale unei variabile aleatoare distribuite aleator X sunt a = 3, deviatia standard # 963; = 2. Scrieți densitatea de probabilitate. 2. Asteptarile matematice si abaterea standard a variabilei aleatoare X distribuite normal sunt respectiv 20 si 5. Gasiti probabilitatea ca, ca rezultat al testului, X sa ia valoarea cuprinsa in intervalul (15.25). 3. Partea este considerată potrivită dacă abaterea mărimii sale controlate față de proiect nu depășește 10 mm. Abaterile aleatorii ale mărimii controlate de la proiectat sunt normalizate cu o abatere medie pătrată s = 5 mm și o așteptare matematică a = 0. Câte procente din componente fac automatul? 4. O variabilă aleatoare X este în mod normal distribuită cu o așteptare matematică a = 10 și o deviație patratică medie # 963; = 5. Găsiți intervalul care este simetric în ceea ce privește așteptarea matematică, în care valoarea lui X provine din probabilitatea de 0.9973 ca rezultat al testului. 5. Variabila aleatorie continuă X este distribuită în conformitate cu legea exponențială dată pentru densitatea de distribuție; cu o funcție. Găsiți probabilitatea ca, ca rezultat al testului, variabila aleatoare X să ia o valoare din intervalul (1,2). Calculați caracteristicile NSW. 6. Testați trei elemente care funcționează independent una de cealaltă. Momentul funcționării fără defecte a elementelor este distribuit în conformitate cu legea exponențială: pentru prima. pentru al doilea. pentru al treilea. Găsiți probabilitatea ca în 5 ore să fie refuzată: a) un singur element; b) cel puțin două elemente. 1. Scrieți densitatea probabilității unei variabile aleatoare distribuite în mod normal X, știind că M (X) = 3 și D (X) = 16. 2. Așteptările matematice și abaterea medie pătrată a unei variabile aleatoare distribuite în mod normal X sunt respectiv 17 și 8. Se găsește probabilitatea ca, ca rezultat al testului, X să ia valoarea cuprinsă în intervalul (5.19). 3. Mașina face bile. O bilă este considerată potrivită dacă abaterea diametrului X de dimensiunea de proiectare este mai mică de 0,7 mm în valoare absolută. Presupunând că variabila aleatoare X este în mod normal distribuită cu o abatere medie pătrată de s = 0,4mm și o așteptare matematică de a = 0, câte bile medii se vor găsi printre cele 100 de produse? 4. Variabila aleatoare X este în mod normal distribuită cu deviația medie pătrată # 963; = 5 mm. Găsiți lungimea intervalului simetric în raport cu așteptarea matematică, în care, cu probabilitatea 0, 9973, X va cădea ca rezultat al testului. 5. Variabila aleatorie continuă X este distribuită în conformitate cu legea exponențială dată pentru densitatea de distribuție; cu o funcție. Găsiți probabilitatea ca, ca rezultat al testului, variabila aleatoare X să ia o valoare din intervalul (2.5). Calculați caracteristicile NSW. 6. Testați trei elemente care funcționează independent una de cealaltă. Momentul funcționării fără defecte a elementelor este distribuit în conformitate cu legea exponențială: pentru prima. pentru al doilea. pentru al treilea. Găsiți probabilitatea ca în 10 ore să li se refuze: a) doar două elemente; b) nu mai mult de două elemente. 1. O variabilă aleatoare distribuită în mod normal X este dată de densitatea de distribuție f (X) =. Găsiți așteptările matematice și varianța lui X. 2. medie și deviație standard a distribuite normal variabila aleatoare X sunt, respectiv, egală cu 20 și 4. Găsiți probabilitatea ca un rezultat al testului X ia valoarea închisă în intervalul (10,20). 3. O anumită substanță este cântărită fără erori sistematice. Erorile de cântărire aleatorii sunt supuse legii normale de distribuție cu deviația medie pătrată # 963; = 20 g. Găsiți probabilitatea ca cântărirea să fie efectuată cu o eroare care nu depășește valoarea absolută 10 g. 4. Mașină automată produce role, cu H. diametru controlat Se crede că X - distribuite în mod normal variabilă aleatoare așteptare a = 10 mm și o deviație standard # 963; = 0,1 mm. Găsiți intervalul care este simetric cu privire la așteptările matematice, în care diametrele bilelor fabricate vor fi închise cu o probabilitate de 0.9973. 5. Variabila aleatorie continuă X este distribuită în conformitate cu legea exponențială dată pentru densitatea de distribuție; cu o funcție. Găsiți probabilitatea ca, ca rezultat al testului, variabila aleatoare X să ia o valoare din intervalul (1,2). Calculați caracteristicile NSW. 6. Testați trei elemente care funcționează independent una de cealaltă. Momentul funcționării fără defecte a elementelor este distribuit în conformitate cu legea exponențială: pentru prima. pentru al doilea. pentru al treilea. Găsiți probabilitatea ca în 5 ore să fie refuzată: a) un singur element; b) cel puțin două elemente. 1. Funcția de distribuție a legii obișnuite F (X) =. Găsiți densitatea distribuției f (X). 2. Asteptarile matematice si deviatia standard a variabilei aleatoare X distribuite normal sunt respectiv 15 si 7. Gasiti probabilitatea ca, ca rezultat al testului, X sa ia valoarea cuprinsa in intervalul (5.12). 3. Mașina face bile. O minge este considerată potrivită dacă abaterea diametrului X de dimensiunea de proiectare este mai mică de 0,5 mm în valoare absolută. Presupunând că variabila aleatoare X este în mod normal distribuită cu o abatere medie pătrată de s = 0,4mm și o așteptare matematică de a = 0, câte bile medii se vor găsi printre cele 100 de produse? 4. Variabila aleatoare X este în mod normal distribuită cu deviația medie pătrată # 963; = 7 mm. Găsiți lungimea intervalului simetric în raport cu așteptarea matematică, în care, cu probabilitatea 0, 9973, X va cădea ca rezultat al testului. 5. Variabila aleatorie continuă X este distribuită în conformitate cu legea exponențială dată pentru densitatea de distribuție; cu o funcție. Găsiți probabilitatea ca, ca rezultat al testului, variabila aleatoare X să ia o valoare din intervalul (3.5). Calculați caracteristicile NSW. 6. Testați trei elemente care funcționează independent una de cealaltă. Momentul funcționării fără defecte a elementelor este distribuit în conformitate cu legea exponențială: pentru prima. pentru al doilea. pentru al treilea. Găsiți probabilitatea ca în 10 ore să li se refuze: a) doar două elemente; b) nu mai mult de două elemente. Întrebări pentru protecția muncii practice nr. 9 1. Care distribuție a NAF se numește normal? 2. Care este distribuția normală normală a NAF? 3. Semnificația parametrilor a și s? 4. Curba normală. Proprietățile și graficul unei curbe normale? 5. Care este efectul parametrilor normali de distribuție asupra formei unei curbe normale? 6. Probabilitatea căderii într-un interval dat al unei variabile aleatorii distribuite în mod normal. 7. Cum se calculează probabilitatea unei deviații date? 8. Care este regula "celor trei sigma"? 9. Ce distribuție se numește exponențială? 10. Probabilitatea de a cădea într-un interval dat al unei variabile aleatorii distribuite exponențial. 11. Caracteristicile numerice ale distribuției exponențiale? 12. Care este funcția de fiabilitate? 13. Care este legea exponențială a fiabilității? 14. Proprietatea caracteristică a legii exponențiale de fiabilitate? Lucrare practică №10 Subiect: Elemente de statistică matematică. Obiectiv: Pentru a studia metoda de prelevare a probelor, caracteristicile numerice de eșantionare și metodele de calcul a acestora, precum și evaluarea tehnica de estimare interval de puncte interval pentru o distribuție normală cu tehnica de estimare interval de variație evenimente de probabilitate cunoscute și necunoscute. A învăța cum să construiască o diagramă grafică a calcula caracteristica numerică a eșantionului, se calculează estimările punctuale, intervalele de încredere.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: