Reprezentarea matematică a principiului superpoziției pentru un câmp electrostatic:
O reprezentare grafică convenabilă a câmpului este liniile de câmp sau liniile de forță.
Linia câmpului este locul punctelor, în fiecare dintre acestea vectorul de tensiune este direcționat de-a lungul tangentei la linia de câmp.
Liniile câmpului electrostatic pornesc pe sarcini pozitive și se termină în negativ (sau merg la infinit). Distanța dintre liniile adiacente de forță sau "densitatea" locației din spațiu arată magnitudinea intensității câmpului într-un anumit cartier. De obicei, este de acord să se efectueze linii de forță de o astfel de densitate încât numărul acestora să traverseze zona de 1. amplasat perpendicular pe liniile câmpului, a fost egal cu E.
Următoarea caracteristică suplimentară importantă a câmpului electric se numește "flux". Mai întâi, ia în considerare "fluxul elementar".
Fluxul elementar al vectorului de intensitate a câmpului electric prin zona elementară ds este produsul scalar al vectorului de către vectorul normal și de zona ds.
O zonă elementară este numită o parte a suprafeței atât de mică, încât în toate aceste zone se poate presupune că (nu variază în mărime, nu se modifică în direcție).
Dacă tragem linii de forță cu o densitate definită anterior, atunci fluxul vectorului prin tampon va fi numeric egal cu numărul de linii de forță care pătrund în acest sit. În acest caz, liniile de forță care pătrund în zonă în direcția normală sunt luate în considerare cu semnul plus, iar față de semnul normal - cu semnul minus.
Debitul prin orice suprafață poate fi calculat prin sumare (integrare):
Teorema Ostrogradsky-Gauss și aplicarea acesteia la calcularea câmpurilor electrostatice
Legea Gaussiană - una dintre legile fundamentale ale electrodinamicii - este una dintre legile fundamentale ale electrodinamicii numite ecuații Maxwell.
Fluxul vectorului de intensitate a câmpului electric prin orice suprafață închisă (S0) este proporțional cu sarcina totală (åqi) în interiorul volumului V (S0) delimitat de suprafața de integrare S0.
Înregistrarea în formă decriptată folosind caracteristicile locale:
unde zerourile indică faptul că suprafața este închisă.
Sensul fizic: taxele sunt sursa câmpului electric.
Se introduce denumirea densității de încărcare a volumului:
unde dV este volumul elementar; dQ este încărcarea elementară.
Nu este dificil să demonstrăm teorema lui Gauss pentru o sarcină punctuală. În acest caz, o suprafață închisă din motive de simplitate a calculelor poate fi considerată ca o sferă de rază r. concentric cu o încărcătură. Acest lucru este convenabil, deoarece în toate punctele este îndreptat de-a lungul normalului la suprafață și are aceeași valoare:
În acest caz, la calcularea debitului, se poate lua un câmp constant în afara semnalului integrat, iar integrarea elementelor de suprafață rămâne egală cu suprafața sferei selectate:
Astfel, am dovedit validitatea teoremei Gauss pentru o sarcină punctuală și o suprafață sferică. Această dovadă poate fi, de asemenea, generalizată pentru orice sistem de încărcări și orice suprafață închisă.
Teorema Ostrogradsky-Gauss face posibilă determinarea intensității câmpului electrostatic al oricărei încărcări distribuite spațial. În general, acest lucru necesită utilizarea unor metode matematice speciale de soluționare. Cu toate acestea, pentru distribuțiile simetrice de încărcări, este posibil să se determine intensitatea câmpului prin metode elementare.
De exemplu, determinăm intensitatea câmpului unui plan infinit, încărcat uniform. Planul este caracterizat de densitatea sarcinii de suprafață s (sarcina pe unitatea de suprafață).
Schema de aplicare a legii Gauss pentru calcularea intensității câmpului:
1. În cazul unui plan infinit, nu este greu de ghicit că vectorul trebuie să fie perpendicular pe plan. Într-adevăr, cifra din dreapta arată câmpul total al încărcăturilor de două puncte ale planului, situate simetric în raport cu punctul de observație A. După cum puteți vedea, vectorul este perpendicular pe plan. În cazul unui plan infinit, există o încărcare simetrică pentru fiecare încărcare punct. Rezumând câmpurile de sarcini punctuale ale planului prin perechi simetrice, rezultând un câmp perpendicular pe plan.
2. Alegem o suprafata inchisa S0 sub forma unui cilindru drept care intersecteaza planul nostru in directia normala. O astfel de suprafață este convenabilă pentru calcularea debitului, deoarece prin suprafața laterală fluxul vectorului de tensiune este zero și diferă de zero numai prin două baze ale zonei S fiecare. Calculați (pe baza definiției debitului):
3. Calculați încărcarea totală åqi într-un volum delimitat de o suprafață. În figură, aceasta este sarcina părții umbrită a avionului, cu suprafața S. De aceea:
4. Înlocuim fluxul și taxa în legea lui Ostrogradsky-Gauss:
5. Din relația obținută găsim intensitatea câmpului:
Vedem că câmpul nu depinde de distanța față de plan, adică este omogenă.
Tensiunea este o caracteristică vectorică a câmpului electric. Potențele - a sunt o caracteristică scalară suplimentară a câmpului. O astfel de caracterizare pot fi administrate numai pentru potențiale domenii, domeniile în care câmpul de forță de muncă pentru deplasarea obiectului de-a lungul unui traseu închis este zero, iar pentru mișcarea nu este dependentă de forma traseului de-a lungul căreia este deplasat, depinde doar de coordonatele punctului de plecare 1 și sfârșitul punctele 2.
Un potențial este un câmp scalar caracteristic numeric egal cu munca forțelor câmpului pe deplasarea unei încărcări "încercate" (unică și pozitivă) dintr-un punct dat având un vector de rază. la un alt punct, pre-selectat având un vector de rază. în care potențialul este considerat zero ().
Munca elementară a forțelor câmpului are forma (utilizăm informațiile obținute în mecanică):
Forța într-un câmp electric. Prin urmare.
Și pentru creșterea incrementală a potențialului, obținem:
Sintetizând (integrarea), obținem valoarea potențialului în punctul cu coordonatele. dacă potențialul de punct este considerat ca fiind originea contorului:
Am obținut ecuația conectării caracteristicii suplimentare - potențialul cu caracteristica de bază - puterea.
Problema este de a obține ecuația de reacție, adică E prin j. Folosim expresia pentru dj și obținem:
derivat cu privire la coordonatele (viteza de schimbare a spațiului). Dar întrebarea rămâne cu privire la direcția câmpului în spațiu.
Pentru o înregistrare mai precisă a relației potențial-tensiune, utilizăm operatorul vectorial. operator nabla. constând din trei componente:
în cazul în care; ; - derivate parțiale în ceea ce privește coordonatele (diferă de derivatele obișnuite prin faptul că sunt introduse pentru o funcție a mai multor variabile și atunci când se calculează derivatul față de o coordonată, celelalte coordonate trebuie considerate constante);
j este o funcție scalară a trei variabile j (x, y, z). Operatorul vector pentru potențial are forma:
Fiecare componentă este o componentă a rezistenței de-a lungul celor trei axe ale coordonatelor. În formă vectorală, aceasta va fi scrisă sub forma:
Ecuația de cuplare și j (gradul este citit ca un "gradient").
Prin definiție, potențialul este legat de lucrul la deplasarea unei singure încărcări, prin urmare, prin înmulțirea potențialului cu valoarea taxei de încercare, lucrăm la deplasarea acestei încărcări, adică obținem energia potențială a unei încărcări date într-un anumit punct al câmpului electric:
unde ЕПОТ. Este energia potențială a încărcăturii.
Cum să folosiți potențialul pentru rezolvarea problemelor?
Este mai convenabil să nu se utilizeze potențialul însuși, ci creșterea sau schimbarea acestuia, precum și "diferența de potențial".
Folosind definiția incrementului oricărei caracteristici și notația este creșterea potențialelor, obținem:
Trimiteți-le prietenilor: