Vă mulțumim că ați citit și l-ați împărtășit altora.
Un eveniment A se numește un caz special al evenimentului B. Dacă, atunci când vine A, B. intră. Faptul că A este un caz particular al lui B este scris.
Evenimentele A și B se consideră egale dacă fiecare dintre ele este un caz special al celuilalt. Egalitatea evenimentelor A și B este scrisă A = B.
Evenimentul A + B este suma evenimentelor A și B care apare dacă și numai dacă apare cel puțin unul dintre evenimentele A sau B.
Teorema privind adăugarea de probabilități. Probabilitatea apariției uneia dintre cele două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.
Observăm că teorema formulată este adevărată pentru orice număr de evenimente incompatibile:
Dacă evenimentele aleatoare formează un grup complet de evenimente incompatibile, atunci egalitatea
Produsul evenimentelor A și B este evenimentul AB. care apare când și numai atunci când ambele evenimente apar: A și B simultan. Evenimentele aleatoare A și B se numesc evenimente comune. dacă ambele aceste evenimente pot apărea în timpul acestui test.
O teoremă privind adăugarea probabilităților 2. Probabilitatea unei sume de evenimente comune este calculată prin formula
Evenimentele evenimentelor A și B sunt considerate a fi independente. dacă apariția uneia dintre ele nu schimbă probabilitatea apariției unui altul. Un eveniment A se spune că depinde de evenimentul B. Dacă probabilitatea evenimentului A se modifică în funcție de situația evenimentului B sau nu.
Teorema privind multiplicarea probabilităților. Probabilitatea producerii evenimentelor independente A și B se calculează prin formula:
Probabilitatea producerii unor evenimente dependente se calculează din formula probabilității condiționale (a se vedea secțiunea următoare).
Un exemplu. În primul sertar 1 bile albe și 5 negre, în celelalte 8 alb și 4 bile negre. Din fiecare sertar a fost scos de minge. Găsiți probabilitatea ca unul dintre bilele eliminate să fie alb și celălalt să fie negru.
Soluția. Menționați evenimentele: A - a scos bila albă din prima cutie,
;
- a îndepărtat bara neagră din prima cutie,
;
B - o minge albă din a doua cutie,
;
- minge neagră din a doua casetă,
.
Trebuie să avem și unul dintre evenimente. Prin teorema privind multiplicarea probabilităților
, .
Apoi, probabilitatea necesară, prin teorema adăugării, va fi
.
Un exemplu. Probabilitatea de a atinge ținta la prima săgeată este de 0,8, iar cea de-a doua - de 0,9. Săgețile fac o lovitură. Găsiți probabilitatea de: a) lovire dublă; b) o dublă dor, c) cel puțin o lovitură; d) un hit.
Fie A prima săgeată;
В - a lovit a doua săgeată.
Apoi - o alunecare a primului;
Să găsim probabilitățile cerute.
a) AB este o lovitură dublă,
b) dubla dor ,.
c) A + B - cel puțin un hit,
d) este un hit,
Un exemplu. Studentul caută formula de care are nevoie în trei directoare. Probabilitatea ca formula să fie cuprinsă în primul, al doilea și al treilea manual este de 0,6; 0,7 și 0,8. Găsiți probabilitățile că formula este conținută 1) numai într-un singur director; 2) numai în două cărți de referință; 3) în toate cele trei cărți de referință.
A - formula este cuprinsă în primul manual;
B - formula este cuprinsă în cel de-al doilea manual;
C - formula este cuprinsă în al treilea director.
Folosim teoremele adunării și multiplicării probabilităților.
Fie ca testul să aibă ca rezultat n evenimente care sunt independente în agregat sau unele dintre ele (în special, numai unul sau nici unul), iar probabilitatea de apariție a fiecărui eveniment este cunoscută. Cum să găsiți probabilitatea ca cel puțin unul dintre aceste evenimente să apară? De exemplu, dacă trei evenimente pot apărea ca rezultat al unui test, apariția a cel puțin unul dintre aceste evenimente înseamnă debutul a unu, două sau trei evenimente. Răspunsul la această întrebare este dat de următoarea teoremă.
Teorema. Probabilitatea apariției a cel puțin unuia dintre evenimentele independente în agregat este egală cu diferența dintre unitate și produsul probabilităților evenimentelor opuse
Dacă evenimentele au aceeași probabilitate, atunci formula ia o formulă simplă:
Un exemplu. Probabilitatea de lovire a țintei când se trag trei arme este următoarea: p 1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Găsiți probabilitatea cel puțin unei lovituri (evenimentul A) cu un volei din toate armele.
Soluția. Probabilitatea de a se lovi reciproc cu arme nu depinde de rezultatele tragerii de la alte arme, deci evenimentele luate în considerare (lovitura primei arme), lovitura celui de-al doilea pistol și lovirea celui de-al treilea pistol sunt independente în agregat.
Probabilitățile evenimentelor opuse evenimentelor și (probabilitatea de pierderi) sunt, respectiv, egale cu:
Un exemplu. Tipografia are 4 mașini de tipărire plate. Pentru fiecare mașină, probabilitatea de rulare în acest moment este de 0,9. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o mașină să fie difuzată (evenimentul A).
Soluția. Evenimentele "mașină care rulează" și "mașină nu funcționează" (în momentul de față) sunt opuse, astfel încât suma probelor lor este egală cu una:
Prin urmare, probabilitatea ca mașina să nu funcționeze în prezent este egală cu
Deoarece probabilitatea obținută este foarte apropiată de unitate, pe baza corolarului principiului imposibilității practice a unor evenimente improbabile, avem dreptate să concluzionăm că cel puțin una dintre mașini rulează în prezent.
Un exemplu. Probabilitatea ca într-o singură lovitură shooterul să lovească ținta este de 0,4. Câte fotografii trebuie să producă, astfel încât, cu o probabilitate de cel puțin 0,9, să atingă țintă cel puțin o dată?
Soluția. Semnează cu A evenimentul "pentru n șuturi, shooter-ul atinge țintă cel puțin o dată". Evenimentele care constau în lovirea țintei cu primul, al doilea foc, etc. sunt independente în total, astfel încât formula este aplicabilă.
Luând în considerare faptul că, prin ipoteză, (prin urmare), ajungem
Vom logarita această inegalitate pe baza a 10:
Deci, adică shooter-ul trebuie să producă cel puțin 5 fotografii.
Puteți comanda un document de testare a teoriei probabilității
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: