Pentru a demonstra teorema lui Euler, luăm o față arbitrară F1 a polyhedronului și o margine F2 adiacentă de ea de-a lungul marginii. Subliniem faptul că această pereche de fețe este restrânsă de un contur conectat (care constă dintr-o singură bucată) care nu se auto-intersectează de marginile acestor fețe. Alegem a treia față F3. care se învecinează cu această pereche pentru o piesă conectată dintr-o linie întreruptă formată din margini (Figura 21). Acest lucru, așa cum se vede ușor, se poate face întotdeauna. Apoi, limita triplei acestor fețe reprezintă, de asemenea, un contur conectat care nu se auto-intersectează. Este ușor să se arate că fețele deja selectate pot atașa a patra față, apoi cea de-a cincea și așa mai departe, astfel încât setul de fețe F1 obținut la pasul următor. F2. Fi a fost limitat de un contur neconsolidat conectat.
Calculăm caracteristica Euler a unui polyhedron pas cu pas. În prima contribuție etapă se confruntă F1 în Euler caracteristic, adică. E. Numărul de vârfuri din numărul minus din marginile sale (la fel), plus numărul de fețe (în acest caz, egal cu 1), este egal cu 1. Prin adăugarea unui nou chip F2. adăugăm un număr de noduri noi, scade un număr (mai mic decât numărul de noduri per unitate) al margini noi și adăugăm o unitate corespunzătoare feței noi. Ca rezultat, contribuția la caracteristica lui Euler în a doua etapă este zero. Deoarece conectabile la fiecare etapă este legat anterior se confruntă cu o frontieră comună sub forma unei singure poligonal conectat, apoi fiecare pas (cu excepția ultimului), numărul de noi vârfuri este unul mai mic decât numărul de noi muchii. De aceea, la fiecare pas pornind de la al doilea până la penultima, contribuția zero la caracteristica Euler. Îmbinarea ultimei fețe nu dă nici noduri noi, nici noi margini, adăugând una care corespunde ultimei fețe din caracteristica lui Euler cu cea deja existentă. Astfel, în ultima etapă obținem caracterul Euler al poliedrului egal cu 2.
Teorema lui Euler are o mare importanță în geometrie. Această teoremă a generat o nouă direcție în matematică --- topologie. Caracteristica lui Euler nu depinde de lungimile marginilor, nici de suprafețele fețelor, nici de unghiurile polyhedronului. Caracterul Euler este egal cu 2, fie convex este un polyhedron sau nu. Principalul lucru - faptul că suprafața acestui polyhedron nu avea găuri și era "similară" cu sfera, și nu cu cadrul (figura 22). Pentru un polyhedron "similar" cu un cadru, caracteristica Euler este 0.
Teorema generalizată Euler
Non-convexe polyhedra
După cum știm, teorema lui Cauchy a fost dovedită numai în cazul polyhedra strict convex și este falsă pentru polyhedra nonconvex. O generalizare a teoremei lui Cauchy pentru politopitele non-strict convexe urmează imediat din următoarea, în sine, o teoremă foarte interesantă.
Teorema (AD Aleksandrov). Sunt date două, în general, polidruri de tip strict combinatorial, care nu sunt strict convexe. Dacă unghiurile plane corespunzătoare ale fețelor lor sunt egale, atunci unghiurile dihedral pentru marginile corespunzătoare sunt, de asemenea, egale.
Atragem atenția asupra faptului că într-un polyhedron strict convex, pe lângă marginile și vârfurile reale, există și muchii și vârfuri fictive. Marginea fictivă a unui polyhedron non-strict convex este o margine a cărei unghi dihedral este egal cu. Un vârf inactiv este un vârf pentru care suma unghiurilor plane potrivite este 2. Unghiul la vârf cu multiple fațete manechin este unghiul diedru (vârf A din fig. 31), care, în special, poate degenera într-un plan (vârf B din fig. 31). Într-un vertex fictiv, două margini reale pot converge sau nu. Deoarece unghiul spațial este redus la un diedru vertex inactiv, atunci aceste margini sunt potrivite la acestea, trebuie să se afle pe o linie dreaptă și să fie o continuare a reciproc (AC și AD margine în Fig. 31).
Să presupunem că două polyhedra M și M 'satisfac condițiile din teoremă. Ca și în dovada teoremei Cauchy, să asociem cu fiecare margine a polyhedronului M semnul "+" dacă unghiul dihedral la margine este mai mare decât unghiul pentru marginea corespunzătoare a poliedrului M '. sau semn "-" dacă acest unghi dihedral este mai mic.
Să luăm în considerare numărul de modificări ale semnelor atunci când traversăm un vârf. Fie A și A 'nodurile corespunzătoare. Deoarece vertexul real diferă de cel fictiv în sensul că suma unghiurilor plane corespunzătoare este strict mai mică de 2. și, prin ipoteza teoremei, toate unghiurile plane corespunzătoare ale polyhedrei sunt egale, atunci vârfurile A și A 'sunt atât reale, cât și fictive. Dacă aceste vârfuri sunt reale, apoi, prin Lema 2, după cum știm deja, numărul de modificări semn în dipozitive fiecare dintre care este fie egal cu 0 (când nici o margine cu un semn pentru A nu este adecvat), sau nu mai puțin de 4.
Luați în considerare cazul când vârfurile A și A 'sunt fictive. Există două posibilități:
1) există margini reale între marginile care se apropie de ambele vârfuri și, în același timp, una dintre muchiile reale cu un capăt în A corespunde unei muchii fictive cu un capăt în A ';
2) toate celelalte cazuri, adică atunci când cel puțin unul dintre aceste noduri nu are muchii reale sau dacă există muchii reale la ambele noduri și corespund unul cu celălalt.
Să arătăm că în cazul 1) numărul de modificări ale semnalelor atunci când traversează vârful A este 4 și în cazul 2) vârful A poate fi exclus din calculul numărului total de modificări ale semnelor.
Cazul 1). Permiteți încadrările prezente să se potrivească ambelor vârfuri fictive A și A '(pot exista doar două dintre acestea). Denumim cu a1. a2 sunt margini reale convergente la vârful A. și cu b'1. b'2 --- margini reale care se apropie de vârful care îi corespunde (Figura 32). Reamintim că adevăratele coaste care abordează vertexul fictiv se află pe o linie și se completează reciproc. Prin urmare, dacă la marginea prezentă a2 există o margine fictivă a'2. atunci marginea fictivă a'1 corespunde, de asemenea, celei de a doua margini reale a1. Prin urmare, invers, marginile fictive b1 corespund marginilor reale b'1 și b'2 din M '. b2 în M. În consecință, semnele de pe marginea a1. b1. a2. b2 sunt "-", "+", "-", respectiv "+". Deoarece toate celelalte margini care sunt potrivite pentru aceste noduri (dacă există) sunt fictive, avem în cazul 1) exact patru schimbări de semn atunci când mergem în jurul vârfului A.
Cazul 2) este împărțit în trei subcategorii:
2a) nici la A., nici la A 'nu corespunde nici unei nervuri reale;
2b) aceste coaste sunt prezente numai în unul dintre ele;
2c), muchiile reale sunt prezente în ambele vârfuri fictive și corespund una cu cealaltă.
Cazul 2a). Nu există margini reale în A. sau în A '. Unghiile corespunzătoare dihedrale (toate egale) sunt egale una cu cealaltă. Astfel, ambele vârfuri și toate marginile care le sunt potrivite sunt în interiorul unei fețe reale și pot fi excluse.
Cazurile 2b) și 2c). Să presupunem că o margine reală a1 se apropie de vertexul fictiv A. În consecință, o altă margine reală a2 se apropie și de acest vârf. care este o continuare a marginii a1. Apoi, în cazul 2b), toate muchiile care se apropie de A '. ar trebui să fie fictiv. În plus, este ușor de văzut că marginile corespunzătoare a1 și a2 se completează reciproc. Prin urmare, putem arunca vârfurile A și A '. și de asemenea toate marginile convergente în ele, cu excepția lui a1. a2. a'1 și a'2. pe care le perechi în perechi în două margini: a1a2 și a'1a'2. Semnul marcii noi a1a2 va fi identic cu marginea originală a1 și a2 (figura 33).
În cazul 2c) marginile a1 și a2 sunt de asemenea reale și complementare. Marginile rămase sunt fictive. Prin urmare, ca și în cazul 2b), este posibil să excludem ambele vârfuri A și A 'și toate marginile fictive care le abordează. Mai mult, marginile a1 și a2 și, respectiv, a'1 și a'2 se află pe o linie, iar marginile a1 și a2. în plus, ele au același semn. Ele pot fi combinate în nervuri noi, mai mari, respectiv a1a2 și a'1a'2. și atribuie semnalul corespunzător primului dintre ele (Figura 34).
Astfel, pot fi excluse vârfurile fictive, supuse cazului 2), și muchiile extra fictive care intră în ele. O pereche de margini rămase care intră în vertexul fictiv este combinată într-o margine, care este prevăzută cu un semn comun pentru marginile vechi. Prin urmare, dacă M pe marginile poliedru sunt marcate, atunci când traversează orice nodurile rămase (vertex este fie vârf real sau fictiv, în cazul 1)) cel puțin patru schimbări de semn. Și acest lucru contrazice Lemma 1, conform căreia există un vertex cu un număr de modificări de semn nu mai mare de 2. Lemma 1 a fost formulată pentru polyhedra convexă. De fapt, așa cum se poate vedea din dovada ei, este adevărat pentru orice polidron al cărui caracter Euler este 2. Această contradicție dovedește teorema.
1 Leonhard Euler (1707, Basel, Elveția - 1783, Sankt Petersburg) - un strălucit matematician, a lucrat mai mult de 30 de ani la St. Petersburg, membru al Academiei de Științe din Sankt Petersburg.
Această afirmație aparent evidentă (numită teorema Iordaniei) este foarte dificil de demonstrat. Este adevărat atât în avion, cât și în sferă. Dar, de exemplu, pe suprafața unui torus nu este adevărat. În Fig. 25 prezintă o cale închisă pe torus care nu rupe suprafața torului în părți.
Trimiteți-le prietenilor: