Rezolvarea inegalităților de gradul I

Tema 1 INCALITĂȚI. PRINCIPALELE PROPRIETĂȚI.

ACȚIUNI PRIVIND INECVALITĂȚILE

1.1 Inegalitatea este o relație în care două expresii algebrice sunt legate de semnul> (mai mult). (mai mare sau egal cu) b, a  b, unde a și b pot fi atât cifre, cât și funcții.

Exemple de inegalități numerice: 25  (-7), (-8) 2 0; (inegalitatea deține pentru astfel de a și b din intervalul de valori admisibile ale variabilelor pentru care ambele părți ale inegalității au sens).

Dacă inegalitatea conține semne:

Fie a și b numere, aR, bR, atunci:

a b, atunci b b, b> c, apoi a> c.

1.2.3 Dacă a> b, atunci a + c> b + c.

1.2.4 Dacă a> b, c> d, atunci a + c> b + d.

1.2.5 Dacă a> b, c b-d.

^ 1.2.6 Dacă ambele părți ale inegalității se înmulțesc cu un număr pozitiv, semnul inegalității nu se modifică:

dacă a> b și m> 0, atunci am> bm.

De exemplu: Să presupunem că inegalitatea 5 (-7) este dată. Dacă înmulțim ambele laturi ale inegalității cu 3, atunci 5? 3? (-7)? 3? 15? -21).

Dacă ambele părți ale inegalității sunt multiplicate cu un număr negativ, atunci semnul inegalității se schimbă în contrariul:

dacă a> b și m0, atunci am

De exemplu: Să presupunem că inegalitatea 5 (-7) este dată. Dacă înmulțim ambele părți ale inegalității cu (-3), atunci 5 (-3)  (-7)  (-3)  (15) 21).

1.2.7 Dacă a> b> 0, c> d> 0, apoi ac> bd.

1.2.8 Dacă a> b> 0; atunci un n> b n.

1.2.9 Dacă a> b> 0, atunci.

1.2.10 Dacă a> b> 0, atunci.

1.3. Unele inegalități importante

1) Pentru orice număr real a  0, se menține următoarea inegalitate:

Pentru numerele reale a și b, următoarele inegalități se păstrează:

citiți: valoarea absolută a sumei a două numere reale nu este mai mare decât suma valorilor absolute ale acestor numere;

citiți: valoarea absolută a diferenței a două numere nu este mai mică decât valoarea absolută a diferenței dintre valorile absolute ale acestor numere;

citește. suma pătratelor a două numere reale nu este mai mică decât valoarea absolută a produsului dublat al acestor numere; egalitatea va fi la;

5) Dacă a și b sunt numere reale ale aceluiași semn (ab0), atunci:

egalitatea va fi pentru a = b;

^ 6) inequality Cauchy: dacă a și b sunt numere reale nonnegative, atunci

media aritmetică a două numere reale nonnegative nu este mai mică decât media geometrică a acestora.

^ 1.4 Operațiuni aritmetice cu inegalități

Reguli pentru efectuarea operațiunilor aritmetice:

1.4.1 Adăugarea. două inegalități ale aceluiași semn pot fi adăugate termic. Obținem inegalitatea aceluiași semn.

1.4.2 Scădere: Două inegalități ale semnelor opuse pot fi scăzute pe termen. Obținem semnul inegalității din care scădem.

1.4.3 Înmulțirea: două inegalități ale aceluiași semn cu termeni pozitivi pot fi multiplicate pe termen. Obținem inegalitatea aceluiași semn.

1.4.4 Diviziune: Două inegalități ale semnelor opuse cu termeni pozitivi pot fi împărțite pe termen. Obținem o inegalitate care are semnul primei inegalități.

Sarcini pentru munca independentă

1.1 Efectuați următoarele acțiuni:

1.2 Multiplicarea ambelor părți ale inegalității prin factorii indicați:

1.3 Împărțiți ambele părți ale inegalității în acești divizori:

Tema 2 Rezolvarea inegalităților de gradul I

1. 
   dacă a> 0, atunci;
   
2. 
   dacă o 0, atunci inegalitatea este valabilă pentru orice valori x  x  (-; + );
   
3. 
   dacă a = 0 și b≤0, atunci inegalitatea soluției nu are  x.
   

Definiție Două inegalități care au o singură cantitate necunoscută sunt numite echivalent (echivalent). dacă seturile soluțiilor lor coincid.

De exemplu: 1) 3x0 și egal sunt inegalități echivalente, deoarece au un set comun de soluții: x (-; 0);

2) 7x≥0 și nu sunt inegalități echivalente, deoarece au astfel de soluții: 7x≥0  x∈ą; + );  x∈ (0; + ).

Exemple de sarcini de rezolvare

Sarcini pentru munca independentă

2.1 Arătați inegalități echivalente:

Tema 3 SOLUȚIONAREA SISTEMELOR DE INEQUALITĂȚI DE PRIMA STUDIU

Considerăm două inegalități de gradul I cu o variabilă: u. Să găsim valorile variabilei x care satisfac fiecare inegalitate. În aceste condiții, avem un sistem de inegalități liniare:

O soluție a sistemului este setul de valori ale variabilei x pentru care fiecare inegalitate a sistemului este transformată într-o inegalitate numerică regulată. Pentru a rezolva sistemul de inegalități, este necesar:

- să soluționeze orice inegalitate a sistemului;

- găsi un set de soluții generale ale acestor inegalități.

Exemple de sarcini de rezolvare

1 Rezolvați sistemul de inegalități:

Sunt multe comune

deciziile primului și al doilea

inegalități (figura 4):

Sarcini pentru munca independentă

Rezolvați sistemul de inegalități:

Tema 4 SOLUȚIONAREA INCALITĂȚILOR DIN GRADUL DE SECUNDARE ȘI ÎNALTĂ

Determinarea gradului de inegalitate al doilea singură variabilă numită inegalitate formă ax 2 + bx + c> 0 sau ax 2 + bx + c 2 + 3x + 2> 0. După multiplicare cu (-1) produce inegalitatea 5x 2 -3x-2 2 + bx + c> 0 denote litera "y", obținem funcția pătratică y = ax 2 + bx + c, unde a> 0. Graficul său este o parabolă, ale cărei ramuri sunt întotdeauna orientate în sus (Figura 7). În cazul în care:

D> 0, atunci parabola intersectează axa OX la punctele x1 și x2;

D = 0, atunci parabola atinge axa OX la punctul x1 = x2;

D <0, atunci parabola nu intersectează axa OX.

Exemple de sarcini de rezolvare

Rezolva inegalitatea patratică:

1) у = x 2 -5x + 4, а = 1 - 0 - ramurile parabolei sunt îndreptate în sus;

D = b 2 -4ac = 25-16 = 9> 0 - parabola intersectează axa OX la punctele x1 și x2;

Înmulțim laturile stângi și drepte ale inegalității cu (-1). Atunci avem inegalitatea x 2 -6 x + 9≤0;

y = x 2 -6x + 9, a = 1> 0 este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus;

Fie inegalitatea patratică dată în forma: ax 2 + bx + c 0, unde a 0 0. Dacă diferențiatorul ecuației curate 2 + bx + c = 0 este mai mare decât zero (D = b 2 -4ac => 0), atunci ecuația are două rădăcini x1 și x2.

Apoi, trinomul pătrat poate fi factorizat, iar inegalitatea poate fi scrisă sub formă

Pentru a rezolva inegalitățile patratice, se folosește metoda intervalului.

Metoda de intervale se bazează pe următoarele afirmații:

1) Dacă xi este un punct astfel încât exponentul hi pentru o expresie este un număr impar, atunci funcția la dreapta și la stânga lui xi (la intervale adiacente) are semne diferite.

Dacă hi este un număr par, atunci punctul xi este simplu.

De exemplu: Avem o funcție y = (x + 1) (x-4) 3. Punctele a1 = (-1) și a2 = 4 sunt simple.

Când treceți printr-un punct simplu, funcția y își schimbă semnul.

2) Dacă xi este un punct astfel încât exponentul hi pentru o expresie este un număr par, atunci funcția la dreapta și la stânga lui xi (la intervale adiacente) are aceleași semne. Dacă hi este un număr par, atunci punctul ai este dublu.

Când treceți printr-un punct dublu, funcția y nu schimbă semnul.

De exemplu: Avem o funcție y = (x + s) 2. punctul a = (-5) este dublu.

1. 
   Pe linia numerică se aplică toate zerourile și punctele de discontinuitate (puncte critice) ale funcției date y.
   
2. 
   Determinați semnul inegalității la fiecare dintre intervalele numerice. Asigurați-vă că luați în considerare faptul că atunci când treceți printr-un punct simplu, funcția schimbă semnul la cel opus. Când treceți printr-un punct dublu, funcția nu schimbă semnul.
   
3. 
   Alegeți lacune în funcție de semnul inegalității:
   

• 
  dacă funcția are semnul "+", atunci pe intervalul dat y> 0;
  
• 
  dacă funcția are semnul "-", atunci pentru intervalul dat y0.
  

Semnează aceste puncte pe linia reală (Figura 11).

Notă Inegalitatea este strictă. Apoi punctele 3 și 5 sunt excluse din soluție.

2) Punctele x1 și x2 împart linia de numere în 3 intervale:

3) Definim semnul inegalității pe intervalul (5; + ):

Fie x = 6> 5, atunci avem inegalitatea.

4) Nu există inegalitate pentru punctele duble. Apoi aplicăm regula de schimbare a semnului: pe intervalul (3; 5) "-";

5) Alegem intervale cu semnul de inegalitate "+".

2 x 2 -7x + 12 2 -7x + 12 factori. Rezolvăm ecuația patratică x 2 -7x + 12 = 0.

D = b 2 -4ac = 7 2 -4⋅12 = 49-48 = 1> 0

Atunci inegalitatea x 2 -7x + 12 4;

1. 
   Definim semnul inegalității pe intervalul 5; + ):
   

4) Nu există inegalitate pentru punctele duble. Aplicăm apoi regula de schimbare a semnelor: 3; 5] - "+"; [-7; 3] - "-"; (-; -7] - "+".

4 (x + 3) (x + 3) (x-2) 2 (x-2) 2, atunci avem inegalitatea;

(-3; 2): let x = 1> -3, atunci avem inegalitatea.

5) Punctul x = -3 este dublu. Apoi pe intervalele (; -3) i (-3; 2) semnul inegalității "-".

6) Luăm intervale cu semnul inegalității "-".

Sarcini pentru munca independenta

Articole similare

• Rezolvarea inegalităților de gradul I și II

• Rezolvarea inegalităților de grade superioare

• Soluția inegalităților cu una necunoscută

Trimiteți-le prietenilor: