Teoria fractalului și aplicarea acestuia

goy nu arata ca; Refrentele

legea secretă a

ghicitul sfânt.

De ce vorbim despre fractalii?

În a doua jumătate a acestui secol, știința naturală






schimbări fundamentale care au dat naștere așa-numitei teorii
auto-organizare sau sinergie. Ea sa născut brusc, ca și cum ar fi fost
traversând mai multe linii de cercetare științifică. Unul dintre cei decisivi
impulsurile inițiale i-au fost trădate de oamenii de știință ruși la începutul secolului
cincizeci și șaizeci. În anii '50, un om de știință
chimistul-analist BP Belousov a descoperit redox
reacție chimică. Descoperirea și studiul auto-oscilațiilor și autovehiculelor în cursul anului
reacția lui Belousov

S. E. Shnolem, A. M. Zhabotinsky, V.I. Krinsky, AN Zaikin, G.R.
Ivanitsky este poate cea mai strălucitoare pagină a fundamentalului
Știința rusă în perioada postbelică. Un studiu rapid și de succes
reacția lui Belousov-Zhabotinsky a lucrat în știință ca un declanșator
cârlig: a amintit imediat că procesele anterior cunoscute de astfel de
genul și multe fenomene naturale, variind de la formarea de galaxii
înainte de tornade, cicloane și joc de lumină pe suprafețele reflectante (așa
numite caustice), - de fapt, procesele de auto-organizare. ei
pot avea o varietate de natura: chimice, mecanice,
optice, electrice și altele asemenea. Mai mult, sa dovedit asta
a fost mult timp pregătit și perfect dezvoltat teoria matematică
auto-organizare. Fundația sa a fost stabilită de lucrările lui A. Poincaré și A. A.
Lyapunova încă la sfârșitul secolului trecut. Disertație "Despre stabilitate
mișcarea "a fost scrisă de Lyapunov în 1892.

Teoria matematică a autoorganizării ne face să vedem într-un mod nou
uită-te la lumea din jurul nostru. Să explicăm cum diferă de la
viziunea clasică a lumii, așa cum va trebui să știm când
studiul obiectelor fractale.

Matematica moderna a aratat ca in unele cazuri acest lucru nu este
astfel: de exemplu, dacă bilele lovesc un perete convex, apoi neglijabil
Diferențele în traiectoriile lor vor crește pe termen nelimitat, așa că
comportamentul sistemului devine imprevizibil la un moment dat.
Astfel, pozițiile de determinism lipsită de ambiguitate au fost subminate chiar de către
în situații relativ simple.

O viziune asupra lumii bazată pe teoria organizării de sine,
simbolizată prin imaginea unei țări montane cu văi de-a lungul căruia curg râuri,
și ridge-bazine hidrografice. În această țară există reacții puternice
- Ambele negative și pozitive. Dacă corpul se scutură
pe pantă, apoi între viteză și poziție este pozitivă
feedback-ul, dacă încearcă să urce, apoi negativ.
Răspunsurile neliniare (suficient de puternice) sunt o condiție indispensabilă
auto-organizare. Non-linearitatea înseamnă o perspectivă globală
formele de evoluție multi-variante, existența unei alternative din căile alternative
și o anumită rată de evoluție, precum și ireversibilitatea evoluției
procese. De exemplu, luați în considerare interacțiunea a două corpuri: A și B. B -
copac elastic, A - un flux de munte în țara noastră. Curbele de curgere
Trunchiul este în direcția mișcării apei, dar când este sigur
îndoirea cilindrului sub acțiunea unei forțe elastice se poate îndrepta, respingând
particule de apă înapoi. Adică vedem o alternativă la interacțiune
două corpuri A și B. Mai mult, această interacțiune are loc într-un asemenea mod,
că relația AB este pozitivă, iar BA este negativă. Respectarea condiției
neliniaritate.

În plus, în teoria organizării de sine, ne putem forța
țara montană "trăiește", adică schimbă în timp. Este important
aloca variabile de ordin diferit. O astfel de ierarhie a variabilelor prin
timpul este o condiție necesară pentru ordonarea autoorganizării.
Spargeți-l, "amestecați" vremurile, va exista haos (un exemplu este un cutremur,
Atunci când schimbările geologice au loc în câteva minute, și
pentru mai multe milenii). Cu toate acestea, după cum se dovedește, cei vii
sistemele nu sunt atât de frică de haos: ei trăiesc tot timpul la limita sa,
uneori chiar căzând în ea, dar încă mai știe cum, atunci când este necesar, din ea
să ieșiți. Cele mai importante sunt cele mai lente
variabilele de timp (se numesc parametri). Valorile parametrilor
să stabilească ce set de soluții durabile va avea sistemul și,
astfel, ce structuri pot fi implementate deloc. În
în același timp, mai rapid

(dinamice) sunt responsabile de alegerea specifică a implementării
stări stabile dintre cele posibile.

Principii de nelinearitate și alternative la alegerea dezvoltării oricăror
procesul de dezvoltare a sistemului este realizat și la construirea fractalilor.

După cum a devenit clar în ultimele decenii (în legătură cu dezvoltarea teoriei
auto-organizare), auto-similaritatea apare într-o varietate de subiecte și
fenomene. De exemplu, asemănarea de sine poate fi observată în ramurile de copaci și
arbusti, atunci când se împarte un zigot fertilizat, fulgi de zăpadă, cristale
gheață, cu dezvoltarea sistemelor economice (valul Kondratiev), structura
sisteme de munte, în structura nori. Toate obiectele enumerate și altele,
similare cu ele în structura lor, se numesc fractale. Asta este, ei
posedă proprietățile asemănării de sine sau invarianța scării. Și asta
înseamnă că unele fragmente ale structurii lor sunt repetate strict prin
anumite decalaje spațiale. Evident, aceste obiecte
pot avea orice natură, iar forma și forma lor rămân neschimbate
indiferent de scară.

Astfel, se poate spune că fractalii ca modele sunt aplicate în acest scop






Dacă obiectul real nu poate fi reprezentat în forma clasică
modele. Și asta înseamnă că avem de-a face cu constrângeri neliniare și
caracterul nedeterminist al datelor. Nonlinearitatea în perspectivele lumii
adică înseamnă calea de dezvoltare multivariată, existența unei alegeri
alternative la căi și o anumită rată de evoluție, precum și ireversibilitate
procese evolutive. Nonlinearitatea în sensul matematic înseamnă,
anumite tipuri de ecuații matematice (diferențial neliniar
ecuații) care conțin cantitățile necunoscute în puteri mai mari decât unitatea sau
coeficienți care depind de proprietățile mediului. Adică când aplicăm
modele clasice (de exemplu, trend, regresie etc.), noi
spunem că viitorul obiectului este unic determinist. Și putem
să o prezicăți, cunoscând trecutul obiectului (datele inițiale pentru
modelare). Și fractale sunt folosite atunci când obiectul are
mai multe opțiuni de dezvoltare și starea sistemului sunt determinate
poziția în care se află în acest moment. Asta este, noi
Încercăm să modelăm dezvoltarea haotică.

Ce ne dau fractalii?

Ele fac mult mai ușor să simplifice procesele și obiectele complexe, ceea ce este foarte important.
important pentru modelare. Permiteți descrierea sistemelor instabile și
procese și, cel mai important, să prezică viitorul unor astfel de obiecte.

Teoria fractalului are o vârstă foarte mică. A apărut în
sfârșitul anilor șaizeci la intersecția dintre matematică, informatică, lingvistică
și biologie. La acea vreme, computerele din ce în ce mai pătrundeau în viață
oamenii, oameni de știință au început să le aplice în studiile lor, numărul
utilizatorii de computere. Pentru utilizare în masă
calculatoarele au fost necesare pentru a facilita procesul de comunicare
mașină. Dacă la începutul erei computerelor câteva
utilizatorii de programatori au introdus cu sine comenzi în mașină
codurile și rezultatele obținute sub formă de benzi de hârtie nesfârșite, atunci
masa și modul încărcat de utilizare a calculatoarelor au apărut
nevoie de invenția unui limbaj de programare care a fost
ar fi de înțeles pentru mașină și, în același timp, ar fi ușor de învățat și
cerere. Adică, utilizatorul ar trebui să introducă numai unul
comanda și computerul l-ar descompune în altele mai simple și
le-ar avea. Pentru a facilita scrierea traducătorilor, la intersecția informaticii
și lingvistică a apărut teoria fractalilor, permițându-vă să specificați cu strictețe
relația dintre limbile algoritmice. Un matematician și un danez
biologul A. Lindenmeer a inventat în 1968 o astfel de gramatică,
numit sistemul L, care, credea el, simulează și creșterea
organismele vii, în special formarea de arbuști și ramuri în plante.

Așa arată modelul său. Specificați un alfabet - un set arbitrar
de caractere. Alocați unul, cuvântul inițial, numit axiom, - puteți
Considerați că aceasta corespunde stării inițiale a corpului - embrionului.
Apoi descriu regulile de înlocuire a anumitor caractere ale alfabetului
un set de simboluri, adică au stabilit legea de dezvoltare a embrionului. act
Regulile sunt după cum urmează: citim fiecare simbol al axiomului în ordine și înlocuim
pe cuvântul specificat în regula de înlocuire.

Astfel, după ce am citit axioma o dată, avem o linie nouă
simboluri, la care aplicăm din nou aceeași procedură. Pas cu pas
există o linie tot mai lungă - fiecare dintre acești pași poate fi
ia în considerare una din etapele succesive ale dezvoltării "organismului".
Limitarea numărului de pași, determinarea momentului în care dezvoltarea este considerată completă.

Apariția teoriei fractalilor

Tatăl fractalilor de drept poate fi considerat Benoit Mandelbrot.
Mandelbrot este inventatorul termenului "fractal". Mandelbrot
a scris: "Am venit cu cuvântul" fractal ", luând ca bază latină
un adjectiv "fractus", adică un termen neregulat, recursiv,
fragmentar ". Prima definiție a fractalilor a fost dată și de B. Mandelbrot:

Fractal este o structură auto-similară, a cărei imagine nu depinde de ea
scară. Este un model recursiv, fiecare parte din care se repetă în modelul său
dezvoltarea întregului model în ansamblu.

Până în prezent, există multe modele matematice diferite
fractali. O caracteristică distinctivă a fiecăruia dintre ele este faptul că în
ele se bazează pe o funcție recursivă, de exemplu: xi = f (xi-1).
Cu ajutorul calculatoarelor, cercetătorii au posibilitatea de a primi
imagini grafice ale fractalilor. Cele mai simple modele nu necesită mari
calcule și pot fi implementate chiar la lecția de informatică, în timp ce
Alte modele sunt atât de exigente pentru puterea calculatorului
implementarea se face cu ajutorul supercomputerelor. Apropo, în SUA
Studiul modelelor fractale se referă la Centrul Național de Aplicații
pentru supercomputere (NCSA). În această lucrare, dorim să arătăm numai
câteva modele de fractali, pe care am reușit să le obținem.

Benoit Mandelbrot a propus un model fractal care a devenit deja
clasice și adesea utilizate pentru a demonstra cât de tipice
un exemplu al fractalului însuși și pentru demonstrarea frumuseții fractalilor,
care atrage și cercetători, artiști,
oameni interesați.

Descrierea matematică a modelului este după cum urmează: pe planul complex în
Un anumit interval pentru fiecare punct c este calculat prin funcția recursivă
Z = Z2 + c. Se pare că o astfel de caracteristică specială în această funcție? Dar după N
repetări ale acestei proceduri pentru calcularea coordonatelor punctelor pe
planul complex apare figura surprinzător de frumoasă, ceva
seamănă cu o pere.

În modelul Mandelbrot, factorul de schimbare este punctul de plecare
s, iar parametrul z este dependent. Prin urmare, pentru a construi un fractal
Mandelbrot există o regulă: valoarea inițială a z este zero (z = 0)!
Această restricție este introdusă pentru ca primul derivat al funcției
z la punctul de plecare a fost zero. Și asta înseamnă că la început
funcția punct are un minim, iar în viitor va dura doar
mari valori.

Vrem să notăm că dacă formula fractală are altceva
vizualizare, atunci trebuie să selectați un punct de plecare diferit pentru
parametrul Z. De exemplu, dacă formula are forma z = z2 + z + c, atunci valoarea inițială
punctul va fi:

În această lucrare, suntem capabili să aducem imagini ale fractalilor,
care au fost construite în NCSA. Am obținut fișierele imagine
Internet de rețea.

Fig.1 Mandelbrot Fractal

Știți deja modelul matematic al fractalului Mandelbrot. Acum, noi
Arătăm cum este realizat grafic. Punctul de plecare al modelului
este egal cu zero. Din punct de vedere grafic, aceasta corespunde centrului corpului "părului". Prin N
pasii umplu întregul corp al părului și în locul în care acesta sa încheiat
ultima iterație, "capul" fractalului începe să se formeze.
"Capul" fractalului va fi exact de patru ori mai mic decât corpul, deoarece
formula matematică a unui fractal este un pătrat
polinom. Apoi, din nou, prin iterații N, "corpul" începe să se formeze
"Rinichi" (dreapta și stânga a "corpului"). Și așa mai departe. Cu cât ai setat mai mult
numărul de iterații N, cu atât mai detaliată va fi imaginea fractalului,
cu atât va avea mai multe anexe. Reprezentare schematică
etapele de creștere a fractalului Mandelbrot sunt prezentate în figura 2:

Figura 2. Schema de formare a fracturilor Mandelbrot

Figurile 1 și 2 arată că fiecare formare ulterioară pe "corp"
repetă exact în structura corpului însuși. Acesta este distincția
faptul că acest model este fractal.

Următoarele figuri arată cum se va schimba poziția punctului,
corespunzător parametrului z, pentru o poziție inițială diferită a punctului
c.

A) Punctul de plecare în "corp" B) Primul
punct în "cap"

C) Punctul de plecare în "rinichi" D) Punctul de plecare din
"Rinichi" de nivelul al doilea

E) Punctul de plecare în "rinichi" al treilea nivel

Din figurile A-D este bine vizibil, la fel ca la fiecare pas tot mai mult
Structura fractalului este complicată, iar parametrul z este mai complex
traiectorie.

Restricții privind modelul Mandelbrot: există o dovadă că în
Modelul Mandelbrot | z | Puteți descărca o lucrare corect formatată
Descărcați eseu







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: