Formulele de bază
Dacă oriunde în $ D $ pe un plan de coordonate $ xOy $ formula $ = \ iint I \ limite _F \ left (x, y \ dreapta) \ cdot dx \ cdot dy $ pune $ f \ stânga (x, y \ dreapta ) \ echiv $ 1, apoi, în conformitate cu sensul său geometric, dublu integrală este numeric egală cu zona de $ S $ regiune integrare $ D $, adică $ S = \ iint \ limite _dx \ cdot dy $. În sistemul de coordonate polare, aceeași formulă ia forma $.
Să presupunem că o suprafață de $ Q $ Ecuațiile $ z = f_ \ stânga (x, y \ dreapta) $ definit. Calculati aria porțiunii de suprafață de $ Q $, care este proiectat pe planul de coordonate $ xOy $ la $ D_ $, în cazul în care funcția de $ f_ \ stânga (x, y \ dreapta) $ continuă și are instrumente derivate continue. Apoi, zona dorită poate fi calculată cu formula $ S = \ iint \ limite _> \ sqrt \ dreapta) ^ + \ stânga (\ frac \ dreapta) ^> \ cdot dx \ cdot dy $.
Dacă suprafața ecuația $ Q $ definită ca $ x = f_ \ stânga (y, z \ dreapta) $ sau $ y = f_ \ stânga (x, z \ dreapta) $, atunci formula corespunzătoare pentru calcularea suprafeței au următoarea formă:
Aici $ D_ $ și $ D_ $ sunt domeniile în care suprafața $ Q $ este proiectată pe planurile de coordonate $ yOz $ și $ xOz $, respectiv.
Aplicarea formulelor în practică
Zona închisă $ D $ în planul definit de intersecția parabolei $ y = 2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + $, 31 de două linii drepte, la punctele $ A $ și $ B $ la $ X_ = $ 3 și $ X_ = $ 6 respectiv. Aceste linii, la rândul lor, se intersectează la un punct dat $ C \ left (5,9 \ right) $. Folosind integralele duble, calculați domeniul domeniului $ D $, considerându-l drept corect în direcția axei $ Oy $.
$ y_ = 2 \ cdot x_ ^ -16 \ cdot x_ + 31 = 2 \ cdot 3 ^ -16 \ cdot 3 + 31 = 1 $. Obținem $ A \ left (3,1 \ right) $.
Găsim coordonatele punctului $ B \ left (x_, y_ \ right) $:
$ y_ = 2 \ cdot x_ ^ -16 \ cdot x_ + 31 = 2 \ cdot 6 ^ -16 \ cdot 6 + 31 = 7 $. Ajungem la $ B \ left (6,7 \ right) $.
Gasim ecuatia liniei $ AC $. Acesta trece prin punctele $ A \ left (3,1 \ right) $ și $ C \ left (5,9 \ right) $. Ecuația acesteia are forma $ y = a_ \ cdot x + b_ $. Coeficientul unghiular: $ a_ = \ frac = 4 $, offset $ b_ = 1-4 \ cdot 3 = -11 $. În cele din urmă, $ y = 4 \ cdot x-11 $.
Gasim ecuatia liniei $ CB $. Acesta trece prin punctele $ C \ left (5,9 \ right) $ și $ B \ left (6,7 \ right) $. Ecuația acesteia are forma $ y = a_ \ cdot x + b_ $. Coeficient unghiular: $ a_ = \ frac = -2 $, offset $ b_ = 9- \ left (-2 \ right) \ cdot 5 = 19 $. În cele din urmă, $ y = -2 \ cdot x + 19 $.
Domeniul dat $ D $ este regulat în direcția axei $ Oy $. Limita inferioară a regiunii este formată dintr-o parabolă. Limita superioară a domeniului constă din două secțiuni: linia dreaptă $ AC $ și linia $ CB $. Prin urmare, domeniul $ D $ este împărțit în două subdomenii (stânga $ D_ $ și dreapta $ D_ $) a liniei verticale care trece prin punctul $ C $.
Zonele subregiunilor sunt determinate folosind dublul integral $ S = \ iint \ limits _dx \ cdot dy $. În acest caz, dublu integral pentru fiecare subregiune va fi calculată cu ajutorul unui $ integrală dublu S = \ iint \ limite _dx \ cdot dy = \ int \ limite _ ^ dx \ cdot \ int \ limite _ \ stânga (x \ dreapta)> ^ \ din stânga (x \ dreapta)> dy $.
Găsiți zona de $ S_ $ subregiune lăsat $ D_ $, care este mărginită la $ dreaptă stânga x = $ 3, dreapta - dreapta $ x = 5 $, de jos - parabolic $ y = 2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 $ și mai sus este linia $ AC $, a cărei ecuație este $ y = 4 \ cdot x-11 $. Astfel, $ a = 3 $, $ b = 5 $, $ \ phi _ \ stânga (x \ dreapta) = 2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 $, $ \ phi _ \ stânga (x \ dreapta) = 4 \ cdot x-11 $. Pentru a calcula aria de $ S_ $ subregiune la stânga $ $ D_ obține în final integral $ S_ = \ int \ limite _ ^ dx \ cdot \ int \ limite _ -16 \ cdot x + 31> ^ dy $.
În primul rând, vom calcula interior integrala I_ $ $, în cazul în care integrarea este de peste $ y $, si $ x $ este considerat constant: \ [I_ = \ int \ limite _ -16 \ cdot x + 31> ^ dy = \ stânga [y \ dreapta ] _ -16 \ cdot x + 31> ^ = \] \ [= \ stânga (4 \ cdot x-11 \ dreapta) - \ left (2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 \ dreapta) = - 2 \ cdot x ^ +20 \ cdot x-42. \]
Acum, funcția rezultată $ x $ ar trebui să fie integrate în ceea ce privește $ x $: \ [S_ = \ int \ limite _ ^ I_ \ cdot dx = \ int \ limitele _ ^ \ stânga (-2 \ cdot x ^ +20 \ cdot x- 42 \ dreapta) \ cdot dx = \] \ [= - 2 \ cdot \ int \ limite _ ^ x ^ \ cdot dx +20 \ cdot \ int \ limite _ ^ x \ cdot dx -42 \ cdot \ int \ limite _ ^ dx = -2 \ cdot \ stânga [\ frac> \ right] _ ^ +20 \ cdot \ stânga [\ frac> \ right] _ ^ -42 \ cdot \ stânga [x \ right] _ ^ = \] \ [= - 2 \ cdot \ frac \ cdot \ stânga [5 ^ -3 ^ \ dreapta] +20 \ cdot \ frac \ cdot \ stânga [5 ^ -3 ^ \ dreapta] -42 \ cdot \ stânga [5- 3 \ right] = \] \ [\ - \ frac \ cdot 98 + 10 \ cdot 16-42 \ cdot 2 \ cca 10.667. \]
Găsiți zona de subdomeniu $ S_ $ pe dreapta $ $ D_, care este limitat la $ stânga directă x = $ 5, la dreapta - dreapta $ x = $ 6, partea de jos - parabolic $ y = 2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 $ și mai sus este o linie $ CB $ a cărei ecuație este $ y = -2 \ cdot x + 19 $. Astfel, $ a = 5 $, $ b = 6 $, $ \ phi _ \ stânga (x \ dreapta) = 2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 $, $ \ phi _ \ stânga (x \ dreapta) = - 2 \ cdot x + 19 $. Pentru a calcula zona de $ S_ $ $ $ pe dreapta subdomeniu D_ în cele din urmă vom obține Integrala $ S_ = \ int \ limitele _ ^ dx \ cdot \ int \ limite _ -16 \ cdot x + 31> ^ dy $.
În primul rând, vom calcula interior integrala I_ $ $, în cazul în care integrarea este de peste $ y $, si $ x $ este considerat constant: \ [I_ = \ int \ limite _ -16 \ cdot x + 31> ^ dy = \ stânga [y \ dreapta ] _ -16 \ cdot x + 31> ^ = \] \ [= \ stânga (-2 \ cdot x + 19 \ dreapta) - \ stânga (2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 \ dreapta) = -2 \ cdot x ^ +14 \ cdot x-12. \]
Acum vom integra în $ x $ funcția rezultată $ x $: \ [S_ = \ int \ limite _ ^ I_ \ cdot dx = \ int \ limitele _ ^ \ stânga (-2 \ cdot x ^ 14 \ cdot x-12 \ dreapta) \ cdot dx = \] \ [= - 2 \ cdot \ frac \ cdot \ stânga [6 ^ -5 ^ \ dreapta] +14 \ cdot \ frac \ cdot \ stânga [6 ^ -5 ^ \ right] -12 \ cdot \ stânga [6-5 \ right] = \] \ [= - \ frac \ cdot 91 + 7 \ cdot 11-12 \ cdot 1 \ cca 4333 \].
Zona domeniului $ D $ este egală cu $ S = S_ + S_ = 10.667 + 4.333 = 15 $ q.s.
<
?php include ($ _SERVER ["DOCUMENT_ROOT"]. "/ vstavki / blokvtext2.php"); ?>
Pe planul orizontal $ xOy $ există o structură cilindrică verticală. Podeaua structurii (domeniul $ D $) are forma unui dreptunghi cu vârfuri $ O \ left (0,0 \ right) $, $ M \ left (5,0 \ right) $, $ K \ left (5,7 \ right) $ și $ N \ left (0,7 \ right) $. Acoperișul structurii are forma unei cupole și este descris de ecuația $ z = \ sqrt> + \ sqrt> $. Este necesar, cu ajutorul integratorului dublu, să se calculeze suprafața acoperișului acestei structuri.
Podelele sale dreptunghiulare sunt chiar în direcția axei $ Oy $. Liniile $ x = a $ și $ x = b $ leagă câmpul în direcția axei $ Ox $ din spate și din față, deci $ a = 0 $, $ b = 5 $. Linii $ \ phi _ \ stânga (x \ dreapta) $ și $ \ phi _ \ stânga (x \ dreapta) de câmp limită $ în direcția axei $ Oy $ la stânga și la dreapta părți, prin urmare, $ \ phi _ \ stânga (x \ dreapta ) = 0 $, $ \ phi_ \ stânga (x \ dreapta) = 7 $. În cele din urmă, $ S = \ int \ limite _ ^ dx \ cdot \ int \ limitele _ ^ \ sqrt \ dreapta) ^ + \ left (\ frac \ dreapta) ^> \ cdot dy $.
Astfel, pentru a găsi zona, trebuie să calculam integral
în cele din urmă $ S = \ frac \ cdot \ left (99845,86-75938,31 \ right) \ aproximativ $ 885,46 $ sq.
Rezolvați controlul la toate subiectele. 10 ani de experiență! Prețul este de la 100 de ruble. termen de la 1 zi!
Vom scrie ieftin și la timp! Peste 50 000 de specialiști dovediți
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: