Să presupunem că într-un sistem cartesian dreptunghiular, un punct și un vector sunt date pe plan. Este necesar să se facă ecuația unei linii drepte. trecând printr-un punct și perpendicular pe vector. (vezi figura 13)
Alegem un punct arbitrar pe linie. Apoi, vectorul se află pe linie. Deoarece linia este perpendiculară pe vectorul de condiție, vectorul este, de asemenea, perpendicular pe vector. și așa mai departe. de unde
Ecuația (3.1) este ecuația unei linii drepte într-un plan care trece printr-un punct și perpendicular pe vector.
Fiecare vector perpendicular pe o linie este numit vectorul normal al unei linii. Vectorul este vectorul normal al liniei.
Un exemplu. Scrieți ecuația direct. trecând printr-un punct și perpendicular pe vector. dacă și.
Soluția. Găsiți coordonatele vectorului. care este vectorul normal al liniei drepte:
Înlocuirea coordonatelor punctului în ecuația (3.1). care este. și coordonatele vectorului. care este. . găsim ecuația necesară a liniei drepte:
Transformăm ecuația (3.1) după cum urmează:
Desemnările. obținem ecuația generală a unei linii drepte în planul formei:
Să investigăm ecuația (3.2):
1. Când. . ecuația (3.2) are forma:
Împărțirea ambelor laturi ale ultimei ecuații prin
indicată. obținem ecuația unei linii drepte în plan în "segmente" ale formei:
unde valorile segmentelor pe care linia dreaptă se decupează de axele de coordonate (vezi Figura 14).
Un exemplu. Scrieți ecuația direct. trecând prin punctul și tăind de pe axele de coordonate segmente egale (vezi Figura 15).
Soluția. Fie ca ecuația liniei necesare să fie de forma (3.3), adică. Deoarece prin ipoteză, ecuația (3.3) poate fi rescrisă sub forma:.
Deoarece punctul se află pe linie. apoi înlocuind coordonatele sale. în ultima ecuație, găsim :. de unde. În consecință, este ecuația liniei dorite.
Un exemplu. Construiește o linie dreaptă.
Soluția. Să dăm ecuația dată unei ecuații cu forma (3.3):
Notați punctul de pe axă. iar pe axa un punct și prin aceste puncte trasează o linie dreaptă. Aceasta este linia dreaptă dorită (vezi Figura 16).
Ecuația (3.2) poate fi, de asemenea, rescrisă într-un alt mod:
Desemnările. . obținem ecuația unei linii drepte cu un coeficient unghiular:
Coeficientul unghiular este egal cu tangenta pantei liniei drepte până la direcția pozitivă a axei (a se vedea figura 17), adică.
Din Figura 17 rezultă că egalitatea este valabilă pentru orice punct.
Un exemplu. Scrieți ecuația direct. trecând prin punctul și formând un unghi cu direcția pozitivă a axei.
Soluția. Lăsați ecuația dorită a liniei drepte să fie înscrisă sub forma (3.4). Prin condiție. înseamnă. Prin urmare.
Deoarece punctul se află pe linie. apoi înlocuind în ultima ecuație. găsim :. de unde.
Astfel, ecuația dorită a liniei drepte este:
Să presupunem că o linie dreaptă trece printr-un punct și că direcția sa este caracterizată printr-un coeficient unghiular. atunci ecuația acestei linii drepte poate fi scrisă sub forma:
unde este încă o cantitate necunoscută.
Deoarece punctul se află pe linie. atunci coordonatele sale satisfac ecuația liniei drepte. adică egalitatea :. de unde. Înlocuirea valorii în ecuație. obținem: fie
Ecuația (3.5) cu valori diferite este numită și ecuația unui creion de linii cu centru la un punct.
Din această rază nu se poate determina numai o linie dreaptă paralelă cu axa. așa cum.
Un exemplu. Scrieți ecuația direct. trecând prin punctul de intersecție a liniilor drepte și a generatorului cu direcția pozitivă a axei.
Soluția. Coordonatele punctului de intersecție a liniilor și găsirea din sistemul de ecuații din aceste linii:
Adăugând aceste ecuații în acest sistem, obținem :. de unde. Apoi.
Deci, coordonatele punctului.
Prin condiție. înseamnă. Înlocuirea în Ecuația (3.5) și. găsim ecuația necesară a liniei
2. Când. . ecuația (3.2) are forma :.
Această ecuație este directă. trecând prin origine - un punct și un punct. (Vezi figura 18)
Un exemplu. Construiește o linie dreaptă.
Soluția. Ecuația unei linii drepte este o ecuație generală a unei linii drepte în plan. . . trecând printr-un punct și un punct. (Vezi figura 19)
3. Când. . Ecuația (3.2) are forma: sau. Această ecuație este o linie dreaptă în planul paralel cu axa și care trece prin punct. (Vezi figura 20)
Un exemplu. Construiește o linie dreaptă.
Soluția. Ecuația unei linii drepte este o ecuație generală a unei linii drepte în plan. . . paralel cu axa și care trece prin punct. (Vezi figura 21).
4. Când. . Ecuația (3.2) are forma: sau.
Această ecuație este o linie dreaptă în planul paralel cu axa și care trece prin punct. (Vezi figura 22)
Un exemplu. Construiește o linie dreaptă.
Soluția. Ecuația unei linii drepte este o ecuație generală a unei linii drepte în plan. . paralel cu axa și care trece prin punct. (Vezi figura 23)
5. Când. . Ecuația (3.2) are forma: sau. Aceasta este ecuația axei de coordonate (a se vedea figura 24)
6. La. . Ecuația (3.2) are forma: sau. Aceasta este ecuația axei de coordonate. (Vezi figura 25)
Astfel, sunt luate în considerare toate cazurile posibile ale ecuației generale (3.2) a unei linii în plan.
Rezultă ecuația unei linii drepte. trecând prin două puncte date și pe un plan într-un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular. (Vezi figura 26)
Deoarece punctul se află pe linie, înlocuind u în ecuația (3.5), constatăm că ecuația liniei drepte are forma:
unde este încă un coeficient necunoscut.
Deoarece linia trece prin punctul. atunci coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația (3.6), adică:
Înlocuind valoarea găsită în ecuația (3.6), obținem ecuația unei linii drepte care trece prin punctele u:
Un exemplu. Scrieți ecuația direct. trecând prin punctele și.
Soluția. Se substituie în (3.7). și. . găsim ecuația necesară a liniei drepte:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: