Probabilitatea este o caracteristică numerică a posibilității apariției unui eveniment aleatoriu. Se presupune că condițiile experimentale pot fi reproduse de nenumărate ori. Această definiție non-matematică este mai degrabă intuitivă. Dați-i o semnificație mai precisă.
Să luăm în considerare un experiment aleatoriu. Ca urmare a acestui experiment, pot apărea mai multe rezultate (evenimente aleatorii). De exemplu, atunci când arunci un zar, pot apărea șase rezultate diferite (un număr de la 1 la 6 poate scăpa).
Spunem că rezultatul este favorabil pentru un eveniment aleatoriu A. Dacă evenimentul A rezultă dintr-un astfel de rezultat. Să presupunem, de exemplu, că evenimentul A constă în faptul că numărul de pe fața cubului este egal. Trei rezultate ale experimentului vor fi favorabile pentru acest eveniment: pierderea a 2, 4 și 6 puncte.
Vom chema rezultate cu aceleași șanse la fel de probabile. Egalitatea de șanse nu este strict definită, însă este considerată clar intuitiv și se explică doar prin exemple. Pentru fiecare dintre aceste evenimente, este caracteristic faptul că nici unul dintre ele nu este în mod obiectiv mai posibil decât altele. În problemele practice, cercetătorul decide care evenimente sunt considerate la fel de posibil (de obicei bazate pe o anumită simetrie în condițiile problemei).
Definiție: Să permiteți ca acest experiment să aibă un rezultat la fel de probabil și inconsecvent. Probabilitatea P (A) a unui eveniment A este raportul dintre numărul de rezultate favorabile m (A) și numărul total N de rezultate incompatibile la fel de probabile:
Această ecuație se numește definiția clasică a probabilității.
Probabilitatea poate fi calculată ca procentaj. De exemplu, expresiile P (A) = 90% și P (A) = 0,9 sunt echivalente.
Pentru orice eveniment aleatoriu
În primul rând, prin definiție, probabilitatea nu este negativă. În al doilea rând, numărul de rezultate favorabile m (A) nu este mai mare decât numărul total de rezultate N. Prin urmare,
Exemplul 1: În urnă există 4 bile albe și 6 negre. Care este probabilitatea ca o minge trasă la întâmplare să fie albă?
În total, experimentul are zece rezultate (puteți scoate oricare dintre cele 10 bile). Vor fi 4 rezultate favorabile. Prin urmare, probabilitatea acestui eveniment este egală cu = 0,4. În consecință, probabilitatea de a elimina bilele negre este de 0,6.
Exemplul 2. Experiența constă în aruncarea succesivă a două cuburi. Să constatăm probabilitatea evenimentului B - "în suma de 8 puncte" și probabilitatea evenimentului C - "în sumă a scăzut cu 12 puncte".
Evident, cele două zaruri aruncare la toate pot fi obținute prin 36 equipossible rezultate inconsistente: n = 36 (fiecare din cele șase cazuri diferite de puncte pierdere pe primul cub corespunde 6 cazuri de pierdere a diferitelor numere de puncte pe secundă cub). Evenimentul C are un singur rezultat favorabil: cazul căderii a două "șase", deci m (C) = 1, și. Eveniment B rezultate favorabile 5 (2 + 6, 3 + 5, 4 + 4, 3 + 5, 2 + 6), și urmând definiția clasică a probabilității, obținem.
Pentru a utiliza definiția clasică a probabilității, trebuie să puteți număra numărul total de rezultate ale experimentului și numărul de rezultate favorabile. Un astfel de calcul este redus la o căutare a variantelor, adică la probleme combinatoriale. Să luăm în considerare modul în care se utilizează formulele combinatoriale în problemele teoriei probabilității.
Multe evenimente aleatorii sunt modelate prin experimente cu urne și bile. Bilele de la urnă pot fi obținute în mai multe moduri: mingea poate fi returnată la urne de fiecare dată sau nu se poate face; bilele selectate pot fi comandate sau nu, etc. Astfel, există diferite scheme de alegere. În fiecare dintre aceste sisteme, numărul total de rezultate și numărul de rezultate favorabile sunt calculate diferit. Să luăm în considerare schemele de bază ale alegerii și problemele corespunzătoare.
Sarcina 1. (Schemă de selecție fără returnare și comandare). În urnă există 3 bile albe și 7 negre. Care este probabilitatea ca din patru bile alese aleatoriu exact unul să fie alb? Care este probabilitatea ca bilele albe să fie exact două?
Decizia: să scoți 4 bile este ca și cum ai scoate o minge fără a le întoarce la urne. Prin urmare, o astfel de situație este descrisă printr-o schemă fără returnare și fără comenzi. Numărul total de rezultate ale acestui experiment aleator este egal cu numărul de modalități de a alege 4 bile din 10, adică numărul de combinații. În acest fel,
În primul caz, cu un rezultat favorabil printre cele patru bile, unul este alb, iar celelalte trei sunt negre (evenimentul A). O minge albă poate fi selectată în trei moduri (există doar trei), trei negre pot fi alese în moduri, deoarece bilele negre din urnă sunt șapte. Fiecare dintre cele trei bile albe poate fi combinată cu oricare dintre triple. Astfel, rezultate favorabile
Prin urmare, probabilitatea necunoscută
Să vedem numărul de rezultate favorabile în cel de-al doilea caz (două alburi, două bile negre - evenimentul B). O pereche de bile albe pot fi selectate în moduri. Pentru o pereche de bile negre, numărul de modalități de selectare
Fiecare pereche de bile albe poate fi combinată cu fiecare pereche de bile negre. Prin urmare, toate rezultatele favorabile m (A) = 3 · 21 = 63. Prin urmare, probabilitatea celui de-al doilea eveniment (B):
Sarcina 2. (Schema de selecție fără returnare cu comanda). În urnă există cărți cu numere de la 0 la 5. La întâmplare, ei primesc două cărți și le adaugă într-un rând. Care este probabilitatea ca numărul rezultat din două cifre să fie un multiplu de șapte?
Soluție: Spre deosebire de sarcina anterioară, acum ordinea în care sunt scoase cărțile este importantă, dar cărțile nu sunt returnate la urnă. Prin urmare, în acest caz numărul total de rezultate este egal cu numărul de destinații de plasare de la 6 la 2, adică Rezultatele favorabile sunt numerele 14, 21, 35, 42, adică m (A) = 4. Prin urmare, probabilitatea necesară
Sarcina 3. (Schemă de selecție cu întoarcere și fără comenzi). În patiserie sunt vândute șapte tipuri de prăjituri. Un alt cumpărător a scos un cec pentru patru prăjituri. Găsiți probabilitatea de a fi comandat:
a) prăjituri de același fel;
b) prăjituri de diferite tipuri;
c) două prăjituri de diferite tipuri.
Soluție: Rezultatul experimentului este tot felul de seturi de patru prăjituri care diferă în compoziție. Seturile din aceleași prăjituri, dar aranjate în ordine diferită, sunt considerate aceleași (schema fără comenzi). În acest caz, seturile individuale pot conține elemente duplicate (schema de returnare). Prin urmare, numărul total de rezultate este egal cu numărul de combinații cu repetiții:
În primul caz de rezultate favorabile 7 (seturi de prăjituri din fiecare dintre cele șapte specii). Prin urmare, probabilitatea
În cel de-al doilea caz, tot felul de seturi de patru prăjituri diferite, alese dintre șapte, sunt favorabile (ordinea nu este importantă). În mod clar, acesta este numărul de combinații de la 7 la 4:
Prin urmare, probabilitatea unui al doilea eveniment
Să luăm în considerare cel de-al treilea caz. Un rezultat favorabil este două perechi de prăjituri identice. Există exact astfel de seturi, deoarece multe perechi diferite pot fi alcătuite din 7 articole, adică Prin urmare, probabilitatea acestui eveniment
Soluție: Rețineți că starea problema se rezolva orice număr (cum ar fi 0012413, 0123456 și 0000000, chiar). Deoarece toate cele 10 cifre și numere de șapte cifre, numărul total de camere este egal cu N = 10 7 = 10000000 (numărul de alocări cu 10 repetări ale elementului 7). rezultate favorabile cuprind toate diferitele seturi de șapte cifre, caracterizate ca procedura (fără număr de repetiție de dispunere a elementelor 10 la 7). Prin urmare, rezultate favorabile
Articole similare
-
Fiecare persoană poate fi considerată o persoană principalele definiții - stadopedia
-
Ideile științifice și filosofice ale lui Aristotel - stadopedia
Trimiteți-le prietenilor: