Isomorfismul grupurilor

Definiție și notație

Dacă ne sunt date două grupuri (G. *) și (H. ∘), izomorfism grup de la (G. *) în (H. ∘) - este homomorfism bijectivă grup de la G la H. Cu alte cuvinte, un izomorfism grup - o functie bijectiva f . G → H. astfel încât pentru orice u și v de la G







Două grupuri (G. *) și (H. ∘) sunt izomorfe dacă există un izomorfism de la unul la altul. Aceasta este scrisă după cum urmează:

O înregistrare mai scurtă și mai simplă este adesea folosită. Dacă operațiunile de grup nu duc la o ambiguitate, ele sunt omise:

Uneori chiar scriu doar G = H. Nu această înregistrare duce la confuzie și ambiguitate, depinde de context. De exemplu, utilizarea unui semn nu este foarte potrivită în cazul în care două grupuri sunt subgrupuri ale aceluiași grup. Vedeți exemplele de mai jos.

Dacă este dat un grup (G. *), setul H și bijecția f. G → H. putem face H un grup (H. ∘) definind

Intuitiv, două grupe izomorfă dacă pentru orice element de grup g G există un element h H. Group care „se comportă în același mod„ca g (interacționează cu alte elemente ale grupului în același mod ca și g). De exemplu, dacă g generează întregul grup, h face același lucru. Prin urmare, în special, rezultă că există o corespondență bijectivă între G și H. Astfel, definirea unui izomorfism exprimă în mod natural proprietatea grupurilor de a fi echivalente.

Pentru unele grupuri este posibil să se dovedească un izomorfism, pornind de la axiomul de alegere. Dar o astfel de dovadă nu arată cum să construim un anumit isomorfism. exemple:

Grupuri ciclice

Dacă (G *) este un grup ciclic infinit. atunci (G *) este izomorf la întregi (prin adăugare). Din punct de vedere algebric, acest lucru înseamnă că mulțimea tuturor numerelor întregi (în plus), este singurul grup ciclic infinit.

Toate grupurile ciclice finite dintr-o ordine dată sunt izomorfe (Zn +), +)>.

Din definiție rezultă că orice izomorfism f. G → H desenează elementul neutru G la elementul neutru H,

din care rezultă că inversul este mapat în invers,

și gradul n în puterea n-a,

pentru toate u în G. și că mapping inverse f - 1. H → G: H \ rightarrow G> este, de asemenea, un izomorfism.







Relația "izomorfic" satisface toate axiomele relației de echivalență. Dacă f este un izomorfism două grupări G și H. toate declarațiile sunt adevărate pentru G. asociate cu structura grupului poate fi transferat prin f pe aceeași H. aprobare și vice-versa.

Un izomorfism din grupul (G *) în sine este numit un automorfism al acestui grup. Deoarece izomorfismul f. G → G este bijectiv,

Automorfismul reprezintă întotdeauna elementul neutru în sine. Imaginea clasei de conjugare este întotdeauna o clasă de conjugare (aceeași sau alta). Imaginea elementului are aceeași ordine ca și elementul însuși.

O compoziție a două automorfisme este din nou un automorphism, iar această operație este mulțimea tuturor automorfisme lui G. notat Aut (G), formează o grupare automorphism G.

Pentru toate grupurile Abeliene are cel puțin automorphism luând elemente ale grupului în inversele lor. Cu toate acestea, în grupurile în care toate elementele sunt egale inverse sale, automorphism este banal, cum ar fi un grup quad Klein (pentru acest grup de toate permutările de trei elemente de grup non-neutre sunt automorfisme, astfel încât izomorfismul grupul izomorfă S 3 și Dih3).

În Z p pentru prim p. una care nu este neutru, elementul poate fi înlocuit cu un altul, cu modificările corespunzătoare în alte elemente. grup automorphism izomorfă Z p - 1. De exemplu, pentru n = 7, se multiplica toate elementele Z7 3 (mod 7) este un automorphism de ordinul a 6 la grupa automorphism deoarece 3 6 ≡ 1 (mod 7) și un grad mai mic de 1 nu da. Astfel, acest automorfism generează Z6. Există o altă automorphism cu această proprietate - multiplicarea tuturor elementelor Z7 5 (mod 7). Astfel, aceste două automorfisme corespund elementelor 1 și 5 ale lui Z6. în această ordine sau în sens invers.

Grupul de automorfism Z6 este izomorf cu Z2. deoarece numai aceste două elemente 1 și 5 generează Z6.

Grupul de automorficare Z2 × Z2 × Z2 = Dih2 × Z2 este de ordinul 168, care poate fi arătat după cum urmează. Toate cele 7 elemente care nu sunt neutre joacă același rol, astfel încât să putem alege care joacă rolul (1,0,0). Oricare dintre cele șase rămase poate fi selectată pentru rol (0,1,0). Aceste două determină, care corespunde cu (1,1,0). (0,0,1) putem alege între patru, iar această alegere determină elementele rămase. Astfel, obținem 7 × 6 × 4 = 168 automorfisme. Acestea corespund automomorfiilor avionului Fano. 7 puncte din care corespund celor 7 elemente care nu sunt neutre. Liniile drepte care leagă cele trei puncte corespund funcționării grupului: a. b. și c pe linie denotă a + b = c. a + c = b. și b + c = a. Consultați și Grupul liniar complet pe un câmp finit.

Pentru grupurile Abeliene toate automorfisme, cu excepția banalul, numit automorfisme exterioare [en].

Grupurile non-abeliane au automorfisme interne netriviale. și, eventual, automomorfisme externe.

Herstein, I. N. Subiecte în algebră. - ediția a 2-a. - Wiley, 1975. - ISBN 0-471-01090-1.

  1. ↑ Ash O consecință a axiomei alegerii // Jurnalul Societății Matematice australiene. - 1973. - T. 19. - p. 306-308.






Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: